【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和4

2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和,【知识提炼】 1.数列的前n项和 (1)定义：对于数列an，一般地，称_为数列an的前n项和. (2)表示：常用符号Sn表示，即Sn=_.,a1+a2+a3+an,a1+a2+a3+an,2.等差数列的前n项和公式,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)若数列an的前n项和为Sn，则a1与S1有什么关系？ 提示：a1=S1.,(2)等差数列an的前n项和公式(包含首项、公差和项数)是关于n的二次函数吗？ 提示：不一定.当d0时，Sn=na1+ d= n2+ (a1- )n是关于n的二次函数；当d=0时，Sn=na1=a1n是关于n的一次函数.,2.若数列an的前n项和为Sn=n2+2，则a10的值为( ) A.19 B.20 C.100 D.102 【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19.,3.等差数列an中首项a1=1，公差d=-2，则前10项的和S10=( ) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 【解析】选D.S10=10×1+ ×(-2)=-80.,4.等差数列an中，若a1=-2，a9=12，则S9=_. 【解析】S9= =45. 答案：45,5.2+6+10+14+(4n+2)+(4n+6)=_ 【解析】数列2，6，10，14，4n+2，4n+6是首项为2，公差为4的等差数列，共有n+2项. 所以原式= =2n2+8n+8. 答案：2n2+8n+8,【知识探究】 知识点1 等差数列的前n项和公式 观察图形，回答下列问题：,问题1：等差数列前n项和公式的两种形式中，一共涉及哪几个量？怎样由已知量求未知量？ 问题2：等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在什么情况下使用？,【总结提升】 1.等差数列前n项和公式的结构,2.等差数列前n项和公式的特点 (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和. (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.,(3)当已知首项、末项和项数时，用Sn= 较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn=na1+ 较好.,知识点2 数列的通项an与前n项和Sn的关系 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：当n2时，数列an的前n项和Sn与an有怎样的关系？ 问题2：数列的通项公式何时采用分段形式？,【总结提升】 1.an与Sn的关系 当n2时，有Sn=a1+a2+a3+an，Sn-1=a1+a2+a3+ an-1，所以Sn-Sn-1=an. 当n=1时，a1=S1. 综上可知，an=,2.对an与Sn的关系的两点说明 (1)这一关系对任何数列都适用.,(2)若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n2)也适合n=1的情况，数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n2)不适合n=1的情况，数列的通项公式采用分段形式即an=,【题型探究】 类型一 等差数列前n项和的有关计算 【典例】1.(2015·全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11,2.(2015·安徽高考)已知数列an中，a1=1，an=an-1 + (n2)，则数列an的前9项和等于_. 3.根据下列条件，求相应的等差数列an的有关未知数： (1)d= ，an= ，Sn=- ，求a1及n. (2)a1= ，a15=- ，Sn=-5，求n和d.,【解题探究】1.典例1中，为了简化计算可以利用等差数列的什么性质？ 提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3，即可求解. 2.典例2中，数列an是等差数列吗？若是，其首项和公差分别是什么？ 提示：数列an为等差数列，其首项为1，公差为 .,3.典例3中，解题的依据是什么？用到什么数学思想？ 提示：依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d， Sn= ，Sn=na1+ d.解题基本思想是方程的思想.,【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3， 所以a3=1，所以S5= =5a3=5. 2.当n2时，an=an-1+ 且a2=a1+ ，所以an是首项为1，公差是 的等差数列，所以S9=9×1+ × = 9+18=27. 答案：27,3.(1)方法一：由题意得 由得a1=2- ，代入整理得 n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去)， 所以a1=2- =-3.,方法二：a1=an-(n-1)d = -(n-1)× =2- ， 所以Sn= 整理得n2-7n-30=0，下同方法一.,(2)因为a15= +(15-1)d=- ， 所以d=- .又Sn=na1+ ·d=-5， 解得n=15，或n=-4(舍).,【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值.,(2)利用等差数列的性质解题.,【变式训练】1.在等差数列an中，其前n项和为Sn，且S2 011=2 011，a1 007=-3，则S2 012=_.,【解析】因为S2 011=2 011， 所以 =2 011. 所以a1+a2 011=2. 又因为a1+a2 011=2a1 006，所以a1 006=1. 又因为a1 007=-3， 所以S2 012=,答案：-2 012,2.在等差数列an中， (1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10. (2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n.,【解析】 (1)方法一：由已知条件得 解得 S10=10a1+ ×d=10×3+45×4=210.,方法二： 所以a1+a10=42， 所以S10= =5×42=210. (2)S7= =7a4=42，所以a4=6. Sn= =510， 所以n=20.,类型二 an与Sn关系的应用 【典例】数列an的各项都为正数，且满足Sn= (nN*)，求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中如何消去Sn？消去Sn后，为求an应整理为何种形式？ 提示：先根据Sn= 得出4Sn+1=(an+1+1)2，然后作差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或 =g(n)的形式.,【解析】由Sn= 得4Sn=(an+1)2 所以4Sn+1=(an+1+1)2 -得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2， 4an+1= +2an+1- -2an， ( - )-2(an+1+an)=0，,(an+1+an)(an+1-an-2)=0， 因为an0，所以an+1-an=2， 又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1， 故an是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n-1.,【延伸探究】1.(变换条件)本例中的条件Sn= 改为log2(Sn+1)=n+1，其他条件不变，结果又如何？,【解析】因为log2(Sn+1)=n+1， 所以Sn=2n+1-1， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =(2n+1-1)-(2n-1)=2n， 当n=1时，a1=S1=22-1=3不适合上式， 所以an=,又S1=1，an的各项都为正数， 所以 - =1(n2)， 所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.,3.(变换条件、改变问法)本例条件Sn= 改为 Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，其他条件不变，求证：数列an是等差数列.,【证明】因为Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0，nN*， 所以令n=1得S12-(-1)·S1-6=0， 即a12+a1-6=0，解得a1=2或a1=-3， 由于数列an各项为正数，所以a1=2. 由Sn2-(n2+n-3)·Sn-3(n2+n)=0， 因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，,由数列an各项为正数可得Sn-n2-n=0， 即Sn=n2+n， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n， 当n=1时，a1=2也适合上式， 所以an=2n，nN*,因为an+1-an=2(n+1)-2n=2，nN*， 所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列.,【方法技巧】 1.由Sn求通项公式an的步骤 第一步：令n=1，则a1=S1，求得a1； 第二步：令n2，则an=Sn-Sn-1； 第三步：验证a1与an的关系： (1)若a1适合an，则an=Sn-Sn-1.,(2)若a1不适合an，则an= 2.Sn与an的关系式的应用 (1)“和”变“项”. 首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式.,(2)“项”变“和”. 首先将an转化为Sn-Sn-1，得到Sn与Sn-1的关系式，然后求Sn.,【补偿训练】若数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2)，a1= . (1)求证： 成等差数列. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)当n2时，由an+2SnSn-1=0， 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以 =2， 又 =2， 故 是首项为2，公差为2的等差数列.,(2)由(1)可得 =2n，所以Sn= . 当n2时， an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1= 不适合上式. 故an=,【延伸探究】1.(变换条件)若将条件改为“a1=2，Sn= (n2)”，如何求解.,【解析】(1)因为Sn= 所以 所以 =2. 所以 是以 为首项，2为公差的等差数列. 所以 即Sn=,(2)当n2时，an=Sn-Sn-1= 当n=1时，a1=2不适合an， 故an= n2.,2.(变换条件、改变问法)若将条件改为“2Sn=an2+n-4”，求证：数列an是等差数列.,【证明】当n=1时， 有2a1=a12+1-4，即a12-2a1-3=0， 解得a1=3(a1=-1舍去). 当n2时，有2Sn-1= +n-5， 又因为2Sn=an2+n-4， 两式相减得2an=an2- +1，,即an2-2an+1= ，即(an-1)2= ， 因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1，则an+an-1=1，而a1=3， 所以a2=-2，这与数列an的各项均为正数相矛盾， 所以an-1=an-1，即an-an-1=1， 因此数列an为等差数列.,类型三 等差数列前n项和的最值问题 【典例】1.已知数列an为等差数列，若 0的n的最大值为_.,2.(2015·长春高一检测)已知数列an是一个等差数列，且a2=1，a5=-5. (1)求an的通项an. (2)求an前n项和Sn的最大值.,【解题探究】1.典例1中，如何判断a6与a7的符号？进一步可判断前多少项和的符号？ 提示：由Sn有最大值可知公差da7，所以a60，a70，S120.,2.典例2中，(1)关键是计算等差数列的哪些关键量？ (2)求Sn的最大值的基本方法是什么？ 提示：(1)关键是计算等差数列的首项和公差. (2)求Sn的最大值的基本方法：分析项的符号变化规律；类比二次函数求最值的方法.,【解析】 1.因为 0，a70； 当n7