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【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件:2.3 第1课时 等差数列的前n项和4

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    • 1、2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和,【知识提炼】 1.数列的前n项和 (1)定义:对于数列an,一般地,称_为数列an的前n项和. (2)表示:常用符号Sn表示,即Sn=_.,a1+a2+a3+an,a1+a2+a3+an,2.等差数列的前n项和公式,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)若数列an的前n项和为Sn,则a1与S1有什么关系? 提示:a1=S1.,(2)等差数列an的前n项和公式(包含首项、公差和项数)是关于n的二次函数吗? 提示:不一定.当d0时,Sn=na1+ d= n2+ (a1- )n是关于n的二次函数;当d=0时,Sn=na1=a1n是关于n的一次函数.,2.若数列an的前n项和为Sn=n2+2,则a10的值为( ) A.19 B.20 C.100 D.102 【解析】选A.a10=S10-S9=(102+2)-(92+2)=19.,3.等差数列an中首项a1=1,公差d=-2,则前10项的和S10=( ) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 【解析】选D.S10=101+ (-2)=-80.,4.等差数列an中,若a1=-2,

      2、a9=12,则S9=_. 【解析】S9= =45. 答案:45,5.2+6+10+14+(4n+2)+(4n+6)=_ 【解析】数列2,6,10,14,4n+2,4n+6是首项为2,公差为4的等差数列,共有n+2项. 所以原式= =2n2+8n+8. 答案:2n2+8n+8,【知识探究】 知识点1 等差数列的前n项和公式 观察图形,回答下列问题:,问题1:等差数列前n项和公式的两种形式中,一共涉及哪几个量?怎样由已知量求未知量? 问题2:等差数列前n项和公式的两种形式分别适合在什么情况下使用?,【总结提升】 1.等差数列前n项和公式的结构,2.等差数列前n项和公式的特点 (1)两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n项和. (2)依据方程的思想,在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”.,(3)当已知首项、末项和项数时,用Sn= 较为简便;当已知首项、公差和项数时,用Sn=na1+ 较好.,知识点2 数列的通项an与前n项和Sn的关系 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:当n2时,数列an的前

      3、n项和Sn与an有怎样的关系? 问题2:数列的通项公式何时采用分段形式?,【总结提升】 1.an与Sn的关系 当n2时,有Sn=a1+a2+a3+an,Sn-1=a1+a2+a3+ an-1,所以Sn-Sn-1=an. 当n=1时,a1=S1. 综上可知,an=,2.对an与Sn的关系的两点说明 (1)这一关系对任何数列都适用.,(2)若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n2)也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若由an=Sn-Sn-1(n2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n2)不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式即an=,【题型探究】 类型一 等差数列前n项和的有关计算 【典例】1.(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11,2.(2015安徽高考)已知数列an中,a1=1,an=an-1 + (n2),则数列an的前9项和等于_. 3.根据下列

      4、条件,求相应的等差数列an的有关未知数: (1)d= ,an= ,Sn=- ,求a1及n. (2)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求n和d.,【解题探究】1.典例1中,为了简化计算可以利用等差数列的什么性质? 提示:利用等差数列的性质得2a3=a1+a5,所以S5=5a3,即可求解. 2.典例2中,数列an是等差数列吗?若是,其首项和公差分别是什么? 提示:数列an为等差数列,其首项为1,公差为 .,3.典例3中,解题的依据是什么?用到什么数学思想? 提示:依据是以下三个公式an=a1+(n-1)d, Sn= ,Sn=na1+ d.解题基本思想是方程的思想.,【解析】1.选A.因为a1+a3+a5=3a3=3, 所以a3=1,所以S5= =5a3=5. 2.当n2时,an=an-1+ 且a2=a1+ ,所以an是首项为1,公差是 的等差数列,所以S9=91+ = 9+18=27. 答案:27,3.(1)方法一:由题意得 由得a1=2- ,代入整理得 n2-7n-30=0解得n=10或n=-3(舍去), 所以a1=2- =-3.,方法二:a1=an-(n-1)d = -(n-1) =

      5、2- , 所以Sn= 整理得n2-7n-30=0,下同方法一.,(2)因为a15= +(15-1)d=- , 所以d=- .又Sn=na1+ d=-5, 解得n=15,或n=-4(舍).,【方法技巧】等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值.,(2)利用等差数列的性质解题.,【变式训练】1.在等差数列an中,其前n项和为Sn,且S2 011=2 011,a1 007=-3,则S2 012=_.,【解析】因为S2 011=2 011, 所以 =2 011. 所以a1+a2 011=2. 又因为a1+a2 011=2a1 006,所以a1 006=1. 又因为a1 007=-3, 所以S2 012=,答案:-2 012,2.在等差数列an中, (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10. (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.,【解析】 (1)方法一:由已知条件得 解得 S10=10a1+ d=103+454=210.,方法二: 所以a1+a10=42, 所以S10= =542=210. (2)S7= =7a4=42,所以a4=6. Sn= =5

      6、10, 所以n=20.,类型二 an与Sn关系的应用 【典例】数列an的各项都为正数,且满足Sn= (nN*),求数列an的通项公式.,【解题探究】本例中如何消去Sn?消去Sn后,为求an应整理为何种形式? 提示:先根据Sn= 得出4Sn+1=(an+1+1)2,然后作差消去Sn.应整理为an+1-an=f(n)或 =g(n)的形式.,【解析】由Sn= 得4Sn=(an+1)2 所以4Sn+1=(an+1+1)2 -得4Sn+1-4Sn=(an+1+1)2-(an+1)2, 4an+1= +2an+1- -2an, ( - )-2(an+1+an)=0,,(an+1+an)(an+1-an-2)=0, 因为an0,所以an+1-an=2, 又4S1=4a1=(a1+1)2得a1=1, 故an是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以an=2n-1.,【延伸探究】1.(变换条件)本例中的条件Sn= 改为log2(Sn+1)=n+1,其他条件不变,结果又如何?,【解析】因为log2(Sn+1)=n+1, 所以Sn=2n+1-1, 当n2时,an=Sn-Sn-1 =(2n+1-1)-(2n-1

      7、)=2n, 当n=1时,a1=S1=22-1=3不适合上式, 所以an=,又S1=1,an的各项都为正数, 所以 - =1(n2), 所以数列 是首项为1,公差为1的等差数列.,3.(变换条件、改变问法)本例条件Sn= 改为 Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,其他条件不变,求证:数列an是等差数列.,【证明】因为Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN*, 所以令n=1得S12-(-1)S1-6=0, 即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3, 由于数列an各项为正数,所以a1=2. 由Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0, 因式分解得(Sn+3)(Sn-n2-n)=0,,由数列an各项为正数可得Sn-n2-n=0, 即Sn=n2+n, 当n2时,an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n, 当n=1时,a1=2也适合上式, 所以an=2n,nN*,因为an+1-an=2(n+1)-2n=2,nN*, 所以数列an是首项为2,公差为2的等差数列.,【方法技巧】 1.由Sn求通项公式an的步骤 第一步:令n=1,则a

      8、1=S1,求得a1; 第二步:令n2,则an=Sn-Sn-1; 第三步:验证a1与an的关系: (1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.,(2)若a1不适合an,则an= 2.Sn与an的关系式的应用 (1)“和”变“项”. 首先根据题目条件,得到新式(与条件相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.,(2)“项”变“和”. 首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.,【补偿训练】若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求证: 成等差数列. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)当n2时,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 =2, 又 =2, 故 是首项为2,公差为2的等差数列.,(2)由(1)可得 =2n,所以Sn= . 当n2时, an=Sn-Sn-1= 当n=1时,a1= 不适合上式. 故an=,【延伸探究】1.(变换条件)若将条件改为“a1=2,Sn= (n2)”,如何求解.,【解析】(1)因为Sn= 所以 所以 =2. 所以 是以

      9、为首项,2为公差的等差数列. 所以 即Sn=,(2)当n2时,an=Sn-Sn-1= 当n=1时,a1=2不适合an, 故an= n2.,2.(变换条件、改变问法)若将条件改为“2Sn=an2+n-4”,求证:数列an是等差数列.,【证明】当n=1时, 有2a1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0, 解得a1=3(a1=-1舍去). 当n2时,有2Sn-1= +n-5, 又因为2Sn=an2+n-4, 两式相减得2an=an2- +1,,即an2-2an+1= ,即(an-1)2= , 因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3, 所以a2=-2,这与数列an的各项均为正数相矛盾, 所以an-1=an-1,即an-an-1=1, 因此数列an为等差数列.,类型三 等差数列前n项和的最值问题 【典例】1.已知数列an为等差数列,若 0的n的最大值为_.,2.(2015长春高一检测)已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求an的通项an. (2)求an前n项和Sn的最大值.,【解题探究】1.典例1中,如何判断a6与a7的符号?进一步可判断前多少项和的符号? 提示:由Sn有最大值可知公差da7,所以a60,a70,S120.,2.典例2中,(1)关键是计算等差数列的哪些关键量? (2)求Sn的最大值的基本方法是什么? 提示:(1)关键是计算等差数列的首项和公差. (2)求Sn的最大值的基本方法:分析项的符号变化规律;类比二次函数求最值的方法.,【解析】 1.因为 0,a70; 当n7

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