现代控制理论_特征值规范型(4_1-4_2-4_3-4_6)
现代控制理论 第四节第四节 特征值规范型特征值规范型 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 2/29 4、特征值规范型 则 XX P, 设线统两个状态 阵 假和 是一性定常系的向量， 若存在非奇异矩使得 D ,C ,B ,A XX P D,C,B,A BPB ,APPA 11 DD ,CPC 其中 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 3/29 4、特征值规范型 一般 CC ,BB ,AA 但总成立 其它不变特性(3) (2) detdet(1) 1 1 D B A sIC DBAsIC A sIAsI 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 4/29 4、特征值规范型 在状态的适当选取下，系统矩阵具有某种特 殊的结构，使得某种不变性质一目了然。称具有 这种结构的系统描述为规范型。 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 5/29 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 6/29 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 7/29 4.1 对角线规范型 为对角线规范型，如果称D ,C ,B ,A n A 2 1 使得矩阵 ，何时存在非奇异对于给定系统 ,W A,B,C,D AWWA 1 问题： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 8/29 4.1 对角线规范型 使得假设存在非奇异矩阵,w,wwW n 21 WAW n,.,i,wAI ii 210即 为称 为相应的特征向量。的特征值，为由此可知 AI wA i ii 特征矩阵。 个特征向量构成。由此 。变换矩阵个线性独立的特征向量具有 分必要条件是：存在对角线规范型的充 n nA 结论： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 9/29 4.1 对角线规范型 个互不相同的特征值。具有nA ii nAIrank 情形一： An此时 必有 个线性独立的特征向量。 重特征值，则成立的是若 ii A情形二： 维的。的零空间是即 ii AI 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 10/29 4.1 对角线规范型 例： 200 010 001 100 010 101 ,W 设 200 010 101 A 123 112则， 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 11/29 4.1 对角线规范型 注意： 不是唯一的。与但是，一般 。不同外，结果是一样的 可能除了对角元的排列次序不唯一。但是即 一，对应的特征向量不唯对于给定矩阵 C B W A 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 12/29 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 13/29 4.2 特征向量和运动模态 换：为一非奇异矩阵。作变设. 21n wwwW n i ii wtx tX WtX 1 1 AWAW 则 列向量 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 14/29 4.2 特征向量和运动模态 X tX t 1 21 n AWAW 则由，有 如果 1 2 1 2 0 0 0 0 n t t t t n e x ex X te X ex 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 15/29 4.2 特征向量和运动模态 1 1 0 i n i t i n i i i i X tWX t x t w xe w 得 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 16/29 4.2 特征向量和运动模态 模态。 为系统的或简称称 模态的线性组合 使得 时，则个独立特征向量具有当 ii t n i i t ni we wex )t (X wwwWwnA i i 1 21 0 . 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 17/29 4.2 特征向量和运动模态 例： tX tX 10 05 设 tXtX 65 10 15 11 15 21 W,，则 则令,tX WtX 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 18/29 4.2 特征向量和运动模态 例： 0 0 2 1 5 x e x e tX t t 1 1 005 4 1 5 1 00 4 1 1 1 0 5 1 0 21 5 21 2 5 1 t t tt exx exx ex ex tX 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 19/29 4.2 特征向量和运动模态 例： 1 1 005 4 1 5 1 00 4 1 21 5 21 tt exxexxtX 运动为速度沿另一个模态以 运动为速度沿一个模态以 者两个模态：的运动分为两部分，或 1 1 5 15 t t e ;e tX 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 20/29 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 21/29 4.3 模态规范型 AA A w A jj jjj j j,j 22 11 21 即 为实数向量，则， ，其中的特征向量为对应 矩阵，其特征值为为假设 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 22/29 4.3 模态规范型 AWW W A A A 1 ，则令 合并之得 ，得令实部、虚部分别相等 -模态规范型 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 23/29 4.3 模态规范型 tete tete e ss s s L s s L sILsILe tt tt t t cossin sincos 2 222 1 1 1 1 111 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 24/29 4.3 模态规范型 例： 4170 120 111 A j43j4,31 321 , 由 0 11 AI 解得 0 0 1 1 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 25/29 4.3 模态规范型 由 0j 2 AI 解得 4 0 0 1 1 1 , 构成变换矩阵 410 010 011 1 wW 可得 340 430 001 1 AWWA 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 26/29 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 27/29 4. 6 Fedeeva算法和最小多项式 其中 s sP AsI 1 nn nn asasasAsIs 1 1 1 det 12 2 1 1 0 adj nn nn PsPsPsPAsIsP 则 IP 0 IaAPP 101 IaAPP 212 IaAPP nnn121 IaAP nn 1 0 Aatr 1 1 1 2 tr2APa 2 1 3 tr3APa 1 1
