高考总复习《走向清华北大》精品课件10对数与对数函数

第十讲对数与对数函数第十讲对数与对数函数 回归课本回归课本 1.对数概念对数概念 (1)定义定义:一般地一般地,对于指数式对于指数式ab=N,把数把数b叫做叫做以以a为底为底N的对数的对数 ,记作记作logaN,其中其中a叫做对数的叫做对数的底数底数,N叫做叫做真数真数. (2)对数性质对数性质 零和负数零和负数没有对数没有对数,即即N0; 1的对数为的对数为0,即即loga1=0(a0且且a1); 底的对数等于底的对数等于1,即即logaa=1(a0且且a1). (3)对数恒等式对数恒等式:alogaN=N(a0且且a1,N0). (4)常用对数常用对数:通常将通常将以以10为底的对数为底的对数叫做常用对数叫做常用对数,N的常用的常用 对数对数log10N简记为简记为lgN. (5)自然对数自然对数:以无理数以无理数e=2.71828为底的对数为底的对数称为自然对称为自然对 数数,N的自然对数的自然对数logeN简记作简记作lnN. 2.对数的运算性质对数的运算性质 如果如果a0且且a1,M0,N0,那么那么 aa a a aa n aa 1log Mlog N; 2 log 3nlog log (M N) log Mlog N M nR . ; log M M N abc 3. 1: 2(a,b,c0a,b,c1); ( ,0, lo 1, g b log c log a 0 1 ) . 1 , , . 1 , 1 a a b loga log N logbNa ba bN log b log a n logab m a logab logambn 换底公式及常见结论 换底公式 常见结且 且 论 其中 4.对数函数的定义对数函数的定义 一般地一般地,函数函数y=logax(a0,a1,x0)叫做对数函数叫做对数函数,它的定义它的定义 域为域为(0,+),值域为值域为R. 5.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质 y=logax a1 01时时,y0; 当当x1时时,y0 在在(0,+)上是上是增函数增函数 在在(0,+)上是上是减函数减函数 x的的 图象关于图象关于x轴轴对称对称 6.反函数反函数 指数函数指数函数y=ax(a0,a1)与对数函数与对数函数y=logax(a0,a1,x0)互互 为反函数为反函数,它们的图象关于直线它们的图象关于直线y=x对称对称. 考点陪练考点陪练 1.已知函数已知函数 的定义域为的定义域为 M,g(x)=ln(x+1)的定义域的定义域N,则则MN=() A.x|x-1 B.x|-10,即即x0,x-1,所以所以g(x)的定义域为的定义域为x|x-1.所以所以MN=x|- 11,且且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则则m,n,p 的大小关系为的大小关系为() A.nmpB.mpn C.mnpD.pmn 解析解析:因为因为2a-(a-1)=a+1,且且a1,所以所以2a-(a-1)0,即即2aa-10; 又又a2+1-2a=(a-1)2,则则a2+12a0.因为因为a1,所以函数所以函数 y=logax在在(0,+)上是增函数上是增函数,所以所以 loga(a2+1)loga(2a)loga(a-1),所以所以mpn,故选故选B. 答案答案:B 3.下列四个数中最大的是下列四个数中最大的是( ) .().( .2 ) .2Cln 2 A ln2Bln ln2 Dln 2 :ylnx(0,), 0ln1ln2lne1, ln2ln2,ln ln20,0D22,.lnln 解析 由于函数在上是增函数 所以 所以故选 答案答案:D a 4.f xlog x2,f x1, 1a 11 .2B.0aa2 a11a2a1a2 0 22 11 22 Aa CD 已知函数在上恒有则（） 或或 或或 解析解析:若若a1,则则f(x)=logax在在2,+上是增函数上是增函数,且当且当x2时时 ,f(x)0. 由由|f(x)|1得得f(x)1,即即logax1. 当当x2,+)时时,logax1恒成立恒成立 ,loga21,loga2logaa,11得得-f(x)1, f(x)1时时,图象向下无限接近图象向下无限接近y轴轴);对于相同的对于相同的a,函数函数 f(x)=logax与与g(x)= 的图象关于的图象关于x轴对称轴对称. 1 a log x x a 1 0, 22log0x ,. 2 x, a 【典例 】若不等式当 时恒成立 求实数 的取值范围 分析分析在同一坐标系下画出在同一坐标系下画出y=2x与与y=logax的图的图 象象,数形结合求解数形结合求解. x a 2log x 1 0, 2 0, 解 要使在上恒成立 x a x 2 12 22 2 2 2 a x a 1 0, 2 1 0, 2 1 ,2 2 1 2, 2 1 2log x, y2 ylog x. y2, ylog2, 2 111 ,. 222 1 . 2 a 1 x. a aa loga loglog a a a 即使不等式在上恒成立 即使函数的图象在内恒在函数 的下方 由于的图象过点由图可知需 函数递减而 即 故所求的 的范围为 类型三类型三 对数函数的性质对数函数的性质 解题准备解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数解对数 不等式不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域, 还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性 . 【典例典例3】已知函数已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若若f(1)=1,求求f(x)的单调区间的单调区间; (2)是否存在实数是否存在实数a,使使f(x)的最小值为的最小值为0?若存在若存在,求出求出a的值的值;若若 不存在不存在,说明理由说明理由. 分析分析由由f(1)=1求出求出a的值的值,然后根据复合函数的单调性求单然后根据复合函数的单调性求单 调区间调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值的值. 解解(1)f(1)=1, log4(a+5)=1,因此因此a+5=4,a=-1, 这时这时f(x)=log4(-x2+2x+3). 由由-x2+2x+30得得-10.函数函数 的定义域是的定义域是x0,值域是值域是y0,而在变形中函数而在变形中函数y=2log2x-1的定义的定义 域是域是x0,值域是值域是y0,因而原函数的图象显然是错误的因而原函数的图象显然是错误的. 1 y x log x 2log |x 1 42 y22| 1 |, . x 正解 图象如图所示 错源二错源二 忽视真数大于忽视真数大于0 2lgxlgy2lg x2y ,2. x log y 【典例 】已知求的值 2 22 lgxlgy2lg x2y , xyx2y,x5xy4y0 14, 224. , xyx4y, l0,lo xx yy xx ogg yy 错解因为 所以即 所以或即或 所以或 剖析剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条 件件,x0,y0,x-2y0,所以所以x2y0,所以所以x=y不成立不成立. 正解正解因为因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所以所以xy=(x-2y)2,即即x2- 5xy+4y2=0,所以所以x=y或或x=4y, 因为因为x0,y0,x-2y0, 所以所以x=y应舍去应舍去,所以所以x=4y, 2 44. xx log yy ，即所以 技法一技法一 快速解题快速解题(特例法特例法) x 1yf x ya (a0a1)yx, g xf xf xf 21 .yg x ,a A. 2,B. 0,11,2 1 ,2 2 11 .,1. 0, 22 CD 【典例 】已知函数的图象与函数 且的图象关于直线对称 记若在区间 上是增函数 则实数 的取值范围是（） aaa 1 ,2 2 13 2 2 g xlog x log xlog 2 1 . g 2.a2, g 2,ABC, 2 3 1 2 D. g g 快解在区间 上是增函数 一定成立但取、 、 时 不成立 故排除 、 、选 另解切入点另解切入点y=f(x)的图象与的图象与y=ax的图象关于直线的图象关于直线y=x对称对称, 故故f(x)=logax,可以写出可以写出g(x),注意注意01两种情况的两种情况的 讨论讨论. aaa a a g xlog x log xlog 2 1 , log x,a, 1 ,2log x, g x. 2 1 ,2 2 分析思维过程 这是关于的二次函数 由 的取值不同 可确定在区间上的增减性 从而可确定在区间上的增减 解析解析解法一解法一:由题意知由题意知,f(x)=logax, 故故g(x)=logax(logax+loga2-1). 令令t=logax,则则h(t)=t2+(loga2-1)t. a aa 2a a 10a1,tlog x, tlog 2, log 2 ,. g x,h t log a, log 2, 1 ,2 2 12 2 1 ,2 2 121 ; 2 log 20a 2 , a a log t log 当时在上单调递减 且对称轴 因为在上单调递增 所以 在上单调 递减 故解得 a aa aa a 1 ,2 2 1 ,2 2 1 2a1,tlog x tlog 2,log 2 .g x ,h tlog 2,lo 21 22 g 2, log 2,a,a1,.D. a log 当时在上单调递增且 因为在 上单调递增 所以在上单调递增 故解得 与矛盾 舍去选 aaaa aa aa aa :f xlog x,g xlog x log xlog 2 1 . g x2log xlog 2 1 , g x0,2log xlog 2 10 1 . 0a1,2loglog 2 1 0, 0aa1 1 ,2 2 1 1 .D 1 ;. 2 2 xlna lna 解法二 由题意知则 令在区间上 欲使只需 当时 只要 解得当时无解选 答案答案D 方法与技巧方法与技巧解法一是由复合函数的增减性讨论的解法一是由复合函数的增减性讨论的,解法二利解法二利 用导数讨论用导数讨论,但都要考虑但都要考虑01