高考总复习《走向清华北大》精品课件24平面向量的基本定理及坐标表示

第二十四讲第二十四讲 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 回归课本回归课本 1.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理平面向量基本定理 定理定理:如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量向量,那么对于这那么对于这 一平面内的任意向量一平面内的任意向量a,有且只有有且只有一对实数一对实数1、2,使使 a=1e1+2e2. 其中其中,不共线的向量不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底组基底. (2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个互相垂直互相垂直的向量的向量,叫做把向量正交分叫做把向量正交分 解解. (3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴轴 y轴方向相同的两个单轴方向相同的两个单 位向量位向量e1,e2作为基底作为基底.对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a,有且只有有且只有 一对实数一对实数a1、a2,使使a=a1e1+a2e2.把有序数对把有序数对(a1,a2)叫做向叫做向 量量a的坐标的坐标,记作记作a=(a1,a2),其中其中a1叫叫a在在x轴上的坐标轴上的坐标,a2叫叫a 在在y轴上的坐标轴上的坐标. 设设 =a1e1+a2e2,则则向量向量 的坐标的坐标(a1,a2)就是终点就是终点A 的坐标的坐标,即若即若 =(a1,a2),则则A点坐标为点坐标为(a1,a2),反反 之亦成立之亦成立(O是坐标原点是坐标原点). OAOA OA 2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)加法加法 减法减法 数乘运算数乘运算 向量向量 a b a+b a-b a 坐标坐标 (x1,y1) (x2,y2) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) (2)向量坐标的求法向量坐标的求法 已知已知A(x1,y1),B(x2,y2),则则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的即一个向量的 坐标等于该向量坐标等于该向量终点终点的坐标减去的坐标减去始点始点的坐标的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b0,则则a与与b a=bx1y2- x2y1=0. AB 考点陪练考点陪练 1.下列各组向量中下列各组向量中,可以作为基底的是可以作为基底的是() A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= 13 , 24 解析解析:根据基底的定义知根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作非零且不共线的两个向量才可以作 为平面内的一组基底为平面内的一组基底.A中显然中显然e1e2;C中中e2=2e1,所以所以 e1e2;D中中e1=4e2,所以所以e1e2. 答案答案:B 2.已知已知a=(-2,3),b=(1,5),则则3a+b等于等于() A.(-5,14) B.(5,14) C.(7,4) D.(5,9) 解析解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14). 答案答案:A 3.设设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则则(a+2b)··c=() A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 解析解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), (a+2b)··c=-3. 答案答案:C 4.m 1,m2).(1, 3),(2, 1), A B C,m() A.m2B.m C.m1D. ( m 2 2 1 OAOBOC 已知向量 若点 能构成三角形 则实数 应满足的条件是 :A( ,1),B C , (1 m m 1m 1 m 1 , m1, ) . ,1 , C ,ACm mBCmm ACBC 解析 由题意因为 能构成三角形 所以即有 得到故选 :C答案 5.a(1,b2,0 ,ab_).3 已知向量则 3),: ab( 1,1 32.ab 解析 答案答案:2 类型一类型一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 解题准备解题准备:已知已知e1,e2是平面的一组基底是平面的一组基底,如果向量如果向量a,e1,e2共面共面, 那么有且只有一对实数那么有且只有一对实数1,2,使使a=1e1+2e2.反之反之,如果有如果有 且只有一对实数且只有一对实数1,2,使使a=1e1+2e2,那么那么a,e1,e2共面共面.这这 是平面向量基本定理的一个主要考查点是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分也是高考本部分 知识考查的重点内容知识考查的重点内容. 11 ,1,OAB,ADBC M,a, 2 .b 4 , OCOA ODOB OAa OBbOM 【典例 】如图 在中与 交于点设以为基底表示 ( ,), (1), 11 , 22 1 , 1 1 A M D, . 2 m2n1 OMmanb m nR AMOMOAmanb ADODOAbaab mn 解 设 因为 三点共线 所以即 1 (), 4 1 11 4 , 1 441 4 1 21 13 7 ,. C M B, 4mn . 4137 7 . 7 1 CMOMOCmanb CBOBOC m n baab m mn OMab mn n 而 因为 三点共线 所以 即 由解得所以 反思感悟反思感悟(1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量本题先利用平面向量基本定理设出未知向量, 然后利用共线向量的条件列出方程组然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从通过待定系数法从 而确定参数的值而确定参数的值. (2)由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不平面内的任一向量都可用两个不 共线的向量惟一表示共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则及几何根据向量的加法和减法法则及几何 性质即可解题性质即可解题. 类型二类型二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 解题准备解题准备:向量的坐标运算向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标使得向量的线性运算都可用坐标 来进行来进行,实现了向量运算完全代数化实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起将数与形紧密结合起 来来,就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量 运算运算. 2A2,4 ,B3, 2 3, 1 ,C , 3, 4 , M N. CMCA CNCBMN 【典例 】已知且 求 及的坐标 (1,8),(6,3). 3(3,24),2(12,6). 33, (3,4)(3,24) A2,4 ,B 3, 1 ,C , 424, 0, 20. 3, 4 , M x,y , M 0,20 . CACB CMCACNCB x CMxy y x y 解 设则 N 9,2 , M 0,20 ,N 9, (9, 18). (9, 18)2 ,. MN MN 同理可求因此 所求 反思感悟反思感悟由由A B C三点坐标易求得三点坐标易求得 坐标坐标,再根据向再根据向 量坐标的定义就可以求出量坐标的定义就可以求出M N的坐标的坐标. 向量的坐标是向量的另一种表示形式向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点它只与起点 终点终点 相对相对 位置有关位置有关,三者中给出任意两个三者中给出任意两个,可求第三个可求第三个.在求解时在求解时,应将应将 向量坐标看作一向量坐标看作一“整体整体”,运用方程的思想求解运用方程的思想求解.向量的坐向量的坐 标运算是向量中最常用也是最基本的运算标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须灵活应用必须灵活应用. CACB、 类型三类型三 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 解题准备解题准备:两平面向量共线的充要条件有两种形式两平面向量共线的充要条件有两种形式:若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab的充要条件是的充要条件是x1y2-x2y1=0;若若 ab(a0),则则b=a. 【典例典例3】平面内给定三个向量平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回回 答下列问题答下列问题: (1)求求3a+b-2c; (2)求满足求满足a=mb+nc的实数的实数m,n; (3)若若(a+kc)(2b-a),求求k; (4)若若(d-c)(a+b),且且|d-c|=1,求求d. 分析分析(1)直接用向量加减法的坐标运算公式直接用向量加减法的坐标运算公式. (2)借助于向量相等的条件借助于向量相等的条件,建立关于建立关于m,n的方程组的方程组. (3)利用向量共线的充要条件利用向量共线的充要条件,建立关于实数建立关于实数k的充要条件的充要条件. (4)利用利用(d-c)(a+b)及及|d-c|=1建立关于建立关于x,y的方程组的方程组. 解解(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)a=mb+nc, (3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), 5 43 9 ,. 228 9 m mn mn n 解得 (3)(a+kc)(2b-a), 又又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2××(3+4k)-(-5)××(2+k)=0,k= (4)设设d=(x,y), d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4). 又又(d-c)(a+b)且且|d-c|=1, 16 . 13 4(4)2(1)0 , (4)2(1)21 xy xy 55 44 55 . 2 52 5 11 55 205 52 5205 52 5 ,. 5555 xx yy dd 解得或 或 反思感悟反思感悟向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引在引 入向量的坐标表示后入向量的坐标表示后,可以使向量的运算完全化为代数运可以使向量的运算完全化为代数运 算算.这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起这样就可以将“形”和“数”紧密结合在一起.因此因此,很很 多几何问题多几何问题,特别是共线特别是共线 共点等较难问题的证明共点等较难问题的证明,通过建立通过建立 坐标系坐标系,设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决设出点的坐标就可转化为坐标运算来解决.如如:要证要证 平行平行,只需相关向量共线只需相关向量共线,要证垂直要证垂直,只需相关向量数量积等只需相关向量数量积等 于于0. 错源一错源一 遗漏零向量遗