小学奥数牛吃草问题 (1)

牛吃草专题讲义牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数×吃的较多天数相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛头数×吃的天数草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数原有草量÷（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量÷吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。引例1：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头牛吃几天？分析：第一步：通过比较两种情况求出牧草的生长速度。设一头牛吃一天的草量为一份第一种情况：10头牛吃20天，共吃了 （份）的草量。第二种情况：15头牛吃10天，共吃了 （份）的草量。草的生长速度： （份）第二步：求出草地上原有的草量： （份）或： （份）第三步：求可以供25头牛吃多少天？将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5份，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有 （头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。（即使有新长的草也不够25头牛同时吃了）可供25头牛吃 （天） 引例2：青青一牧场 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫普遍的算术，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）解答这一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下面的思路，就一定会找到问题的答案。因为27头6星期草料=（27×6=）162头一星期草料23头9星期草料=（23×9=）207头一星期草料而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207162=45（头牛吃一星期的草料）这多出的草料，便是96=3（个星期之内新长出的草料）所以，一个星期新长出的草料便是45÷3=15（头牛吃一星期的草料）进而可知，这牧场最初的草料数量就是（2715）×6=72（头牛吃一个星期的草料）现在，有21头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料，这就只剩下21-15=6（头牛）去吃最初已经长成的草料了。所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光所需要的时间就是72÷6=12（个星期）列成综合算式，就是27-（23×927×6）÷（96）×6÷21-（23×927×6）÷（96）=27-45÷3×6÷21-45÷312×6÷6=12（个星期）答：21头牛要12个星期才可以吃完。例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？摘录条件：27头 6天 原有草+6天生长草23头 9天 原有草+9天生长草21头 ？天 原有草+？天生长草解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）×6=72那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207每天生长草量45÷3=15原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=7221头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？摘录条件：5台 20天 原有水+20天入库量6台 15天 原有水+15天入库量？台 6天 原有水+6天入库量设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90每天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40，原有水100-40=6060+2×6=7272÷6=12（台）1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？ 2、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？ 3、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？ A.3 B.4 C.5 D.64、一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？设一头牛一天吃的草量为一份，因为一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么一只羊一天吃的草量为 份，四只羊一天吃的草量为 份。16头牛吃20天，共吃了 （份）的草量，80只羊吃12天，共吃了 （份）的草量。草的生长速度：一天生长 （份），所以新生的草恰好够 （头）牛吃。原有草量： （份）【注意：一头牛一天吃的草量为一份，1头的吃草量等于4只羊的吃草量】，那么可供60只羊吃 天。那么10头牛与60只羊一起吃可以吃 天。5、一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供20头牛吃12天，（1）那么可供25头牛吃几天？（2）如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草两，那么可供10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 6、牧场上有一片匀速生长的草地，可供20头牛吃6周，或供15头牛吃11周，那么它可供多少头牛吃22周？（牛头数原有草量÷吃的天数草的生长速度。） 7、有一块草地，24匹马6天可以把草吃完，20匹马10天也可以把草吃完。照这样算，多少匹马20天可以把肥草吃完？ 8、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 9、有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8小时，8台抽水机需抽12小时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？ 10、一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？ 11、一只船发现漏水时，已经进了一些谁，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 12、某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个剪票口，要30分钟，开6个检票口要20分钟。如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？（9） 13、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9份就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5份就没有人排队。求第一个观众到达的时间。（8：15） 14、有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？设一头牛一天吃草量为1份5公顷草量5公顷30天生长量： （份）1公顷草量1公顷30天生长量： （份）15公顷草量15公顷45天生长量： （份）1公顷草量1公顷45天生长量： （份）1公顷1天生长量： （份）1公顷草地原有草：