小学奥数牛吃草问题 (1)
10页1、牛吃草专题讲义牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式,分别是:(1)草的生长速度(对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数)(吃的较多天数吃的较少天数);(2)原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数;(3)吃的天数原有草量(牛头数草的生长速度);(4)牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为1,解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。引例1:牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,那么,供
2、25头牛吃几天?分析:第一步:通过比较两种情况求出牧草的生长速度。设一头牛吃一天的草量为一份第一种情况:10头牛吃20天,共吃了 (份)的草量。第二种情况:15头牛吃10天,共吃了 (份)的草量。草的生长速度: (份)第二步:求出草地上原有的草量: (份)或: (份)第三步:求可以供25头牛吃多少天?将25头牛分成两部分:一部分去吃新生的草;另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5份,所以新生的草恰好够5头牛吃,那么吃原有的草的牛应该有 (头)。当这20头牛将草地原有的草量吃完时,草地上也就没有草了。(即使有新长的草也不够25头牛同时吃了)可供25头牛吃 (天) 引例2:青青一牧场 青青一牧场,牧草喂牛羊;放牛二十七,六周全吃光。改养廿三只,九周走他方;若养二十一,可作几周粮?(注:“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。)【解说】这道诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人,他的种种事迹早已闻名于世,这里不赘述。他曾写过一本书,名叫普遍的算术,“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是:一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9
3、个星期可以吃完。若是21头牛,要几个星期才可以吃完?(注:牧场的草是不断生长的。)解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度,但我们不要害怕。只要依据下面的思路,就一定会找到问题的答案。因为27头6星期草料=(276=)162头一星期草料23头9星期草料=(239=)207头一星期草料而这一牧场6星期吃完与9星期吃完,草料数量要相差207162=45(头牛吃一星期的草料)这多出的草料,便是96=3(个星期之内新长出的草料)所以,一个星期新长出的草料便是453=15(头牛吃一星期的草料)进而可知,这牧场最初的草料数量就是(2715)6=72(头牛吃一个星期的草料)现在,有21头牛来吃这牧场里的草,其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料,这就只剩下21-15=6(头牛)去吃最初已经长成的草料了。所以,21头牛来吃这牧场的草料,全部吃光所需要的时间就是726=12(个星期)列成综合算式,就是27-(239276)(96)621-(239276)(96)=27-453621-4531266=12(个星期)答:21头牛要1
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