(全国通用版)2019年中考数学复习 第六单元 圆 滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明练习
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(全国通用版)2019年中考数学复习 第六单元 圆 滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明练习
滚动小专题(七)与圆有关的计算与证明类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,D为O上一点,ODAC,垂足为E,连接BD.(1)求证:BD平分ABC;(2)当ODB30°时,求证:BCOD.证明:(1)ODAC,OD为半径,.CBDABD.BD平分ABC.(2)OBOD,OBDODB30°.AODOBDODB30°30°60°.又ODAC于E,OEA90°.A180°OEAAOD30°.又AB为O的直径,ACB90°.在RtACB中,BCAB.又ODAB,BCOD.2(2018·温州)如图,D是ABC的BC边上一点,连接AD,作ABD的外接圆,将ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在O上(1)求证:AEAB;(2)若CAB90°,cosADB,BE2,求BC的长解:(1)证明:由题意,得ADEADC,AEDACD,AEAC.ABDAED,ABDACD.ABAC,AEAB.(2)过点A作AHBE于点H.ABAE,BE2.BHEH1.ABEAEBADB,cosADB,cosABEcosADB.ACAB3.BAC90°,ACAB,BC3.3(2018·包头)如图,在RtACB中,ACB90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D,BA的延长线交A于点E,连接CD,CE,F是A上一点,点F与点C位于BE两侧,且FABABC,连接BF.(1)求证:BCDBEC;(2)若BC2,BD1,求CE的长及sinABF的值解:(1)证明:ACB90°,BCDACD90°.DE是A的直径,DCE90°.BECCDE90°.ADAC,CDEACD.BCDBEC.(2)BCDBEC,CBDEBC,BDCBCE.BC2,BD1,BE4,EC2CD.DEBEBD3.在RtDCE中,DE2CD2CE29.CD.CE.过点F作FMAB于点M,FABABC,FMAACB90°,AFMBAC.DE3,ADAFAC,AB.FM.过点F作FNBC于点N,FNC90°.FABABC,FABC.FACACB90°.四边形FNCA是矩形FNAC,NCAF,BN.在RtFBN中,BF,在RtFBM中,sinABF.类型2与圆的切线有关的计算与证明4(2018·滨州)如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB.求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC22AD·AO.证明:(1)连接OC.OAOC,OACOCA.AC平分DAB,OACDAC.DACOCA.OCAD.又ADCD,OCDC.OC为O的半径,DC是O的切线(2)连接BC.AB为O的直径,AB2AO,ACB90°.ADDC,ADCACB90°.又DACCAB,DACCAB.,即AC2AB·AD.AC22AD·AO.5(2017·金华)如图,已知:AB是O的直径,点C在O上,CD是O的切线,ADCD于点D,E是AB延长线上一点,CE交O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分DAO;(2)若DAO105°,E30°.求OCE的度数;若O的半径为2,求线段EF的长解:(1)证明:直线CD与O相切,OCCD.又ADCD,ADOC.DACOCA.又OCOA,OACOCA.DACOAC.AC平分DAO.(2)ADOC,EOCDAO105°,E30°,OCE45°.过点O作OGCE于点G,可得FGCG.OC2,OCE45°,OGCG2.FG2.在RtOGE中,E30°,GE2.EFGEFG22.6(2018·苏州)如图,AB是O的直径,点C在O上,AD垂直于过点C的切线,垂足为D,CE垂直AB,垂足为E,延长DA交O于点F,连接FC,FC与AB相交于点G,连接OC.(1)求证:CDCE;(2)若AEGE,求证:CEO是等腰直角三角形证明:(1)连接AC.CD为O的切线,OCCD.又ADCD,DCOD90°.ADOC,DACACO.又OCOA,CAOACO.DACCAO.又CEAB,CEA90°.在CDA和CEA中,CDACEA(AAS)CDCE.(2)证法一:连接BC.CDACEA,DCAECA.CEAG,AEEG,CACG.ECAECG.AB是O的直径,ACB90°.又CEAB,ACEB.又BF,FACEDCAECG.又D90°,DCFF90°.FDCAACEECG22.5°.AOC2F45°.CEO是等腰直角三角形证法二:设Fx°,则AOC2F2x°.ADOC,OAFAOC2x°.CGAOAFF3x°.CEAG,AEEG,CACG.EACCGA.DACEACCGA3x°.又DACEACOAF180°,3x°3x°2x°180°.x22.5.AOC2x°45°.CEO是等腰直角三角形7(2017·孝感)如图,O的直径AB10,弦AC6,ACB的平分线交O于D,过点D作DEAB交CA的延长线于点E,连接AD,BD.(1)由AB,BD,围成的曲边三角形的面积是;(2)求证:DE是O的切线;(3)求线段DE的长解:(2)证明:连接OD.CD平分ACB,ACDBCD.ADDB.又AB为直径,ADDB,ADB90°.ODAB.DEAB,ODDE.又OD为O的半径,DE是O的切线(3)AB10,AC6,BC8.过点A作AFDE于点F,则四边形AODF是正方形,AFODFD5,BAF90°.EAFCAB90°,ABCCAB90°,EAFABC.tanEAFtanABC.,即.EF.DEDFEF5.8(2018·株洲)如图,已知AB为O的直径,AB8,点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且BOC90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且GAFGCE.(1)求证:直线CG为O的切线;(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CBCH.求证:CBHOBC;求OHHC的最大值解:(1)证明:C,D关于AB对称, GAFCAF.GAFGCE,GCECAF.OAOC,CAFACO.GCEACO.AB为直径,ACOOCB90°.GCEOCB90°,即OCG90°.又OC为O的半径,CG为O的切线(2)证明:OCOB,CHBC,OCBOBC,CHBCBH,CBHOBCOCBCHB.CBHOBC.CBHOBC,.BH.设BCx,则CHx,BH.OHHCx2x4(x2)25.当x2时,OHHC的最大值为5.9(2018·娄底)如图,C,D是以AB为直径的O上的点,弦CD交AB于点E.(1)当PB是O的切线时,求证:PBDDAB;(2)求证:BC2CE2CE·DE;(3)已知OA4,E是半径OA的中点,求线段DE的长解:(1)证明:AB是O的直径,ADB90°,即DABABD90°.PB是O的切线,ABP90°,即PBDABD90°.DABPBD.(2)证明:AC,AEDCEB,ADECBE.,即DE·CEAE·BE.连接OC.设圆的半径为r,则OAOBOCr,则DE·CEAE·BE(OAOE)(OBOE)r2OE2.,AOCBOC90°.CE2OE2OC2OE2r2,BC2BO2CO22r2,则BC2CE22r2(OE2r2)r2OE2.BC2CE2DE·CE.(3)OA4,OBOCOA4.BC4.又E是半径OA的中点,AEOE2.则CE2.BC2CE2DE·CE,(4)2(2)2DE·2.DE.7