（全国通用版）2018-2019高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.3 直线与圆的位置关系练习 新人教b版必修2

2.3.3直线与圆的位置关系1直线m(x+1)+n(y+1)=0(mn)与圆x2+y2=2的位置关系是()A.相切B.相离C.相交D.不确定解析：直线方程可化为mx+ny+m+n=0.因为圆心(0,0)到该直线的距离为|m+n|m2+n2,又因为(m+n)2m2+n2-2=-(m-n)2m2+n2<0(mn),所以圆心到直线的距离小于半径,即直线与圆相交.答案：C2若直线y=kx+1与圆x2+y2=1交于P,Q两点,且POQ=120°(其中O为原点),则k的值为()A.2B.3C.-2或2D.-3或3解析：因为POQ=120°,所以OPQ=30°,取PQ中点为M,则OPM是直角三角形,且|OM|=,由点到直线距离公式可得|0-0+1|k2+1=12,解得k=±3.答案：D3已知实数r是常数,如果M(x0,y0)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点,那么直线x0x+y0y=r2与圆x2+y2=r2的位置关系是()A.相交但直线不经过圆心B.相交且直线经过圆心C.相切D.相离解析：由于M在圆内,所以x02+y02<r2.而圆x2+y2=r2的圆心到直线x0x+y0y-r2=0的距离d=|0+0-r2|x02+y02>r2r2=r,故直线与圆相离.答案：D4圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0的距离等于2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：因为圆心到直线的距离d=|-1-2+1|2=2,r=22,所以直线与圆相交.又因为r-d=2,所以劣弧上到直线的距离等于2的点只有1个,在优弧上到直线的距离等于2的点有2个,所以满足条件的点共3个.答案：C5若曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是()A.512,+B.512,34C.0,512D.13,34来源:学|科|网Z|X|X|K解析：如图,因为直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),且点C的坐标为(-2,1),所以k的最大值为,而曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4相切时,k的值为512或不存在,所以k的取值范围为512<k.故选B.答案：B6已知圆C:(x-1)2+y2=1与直线l:x-2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|=. 解析：因为圆心C到直线l的距离d=|1+1|5=255,所以|AB|=2r2-d2=21-45=255.答案：2557过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=. 解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与过圆心(2,0)和点(1,2)的直线垂直,由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,2)的直线的斜率为21-2=-2,故所求直线的斜率为22.答案：228由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,APB=60°,则动点P的轨迹方程为. 解析：因为APB=60°,所以APO=30°,设P(x,y),因为sinAPO=|AO|PO|,即12=1x2+y2,所以x2+y2=4.答案：x2+y2=49已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(mR).(1)求证:不论m为何值,圆心总在同一条直线l上.(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离?(1)证明将圆的方程配方得(x-3m)2+y-(m-1)2=25.设圆心为(x,y),则x=3m,y=m-1,消去m得l:x-3y-3=0.故圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)解设与l平行的直线是l':x-3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l'的距离为d=|3m-3(m-1)+b|10=|3+b|10.因为半径r=5,所以当d<r,即-510-3<b<510-3时,直线与圆相交;当d=r,即b=±510-3时,直线与圆相切;当d>r时,即b<-510-3或b>510-3时,直线与圆相离.10已知直线l被两平行直线l1:2x-5y=-9与l2:2x-5y-7=0所截线段AB的中点恰在直线x-4y-1=0上,已知圆C:(x+4)2+(y-1)2=25.(1)求两平行直线l1与l2的距离;(2)求证:直线l与圆C恒有两个交点;(3)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.(1)解两平行直线l1与l2的距离d=|9-(-7)|22+(-5)2=162929.(2)证明设线段AB的中点P的坐标为(a,b),由P到l1,l2的距离相等,得|2a-5b+9|22+52=|2a-5b-7|22+52,整理,得2a-5b+1=0,因为点P在直线x-4y-1=0上,所以a-4b-1=0.解方程组2a-5b+1=0,a-4b-1=0,得a=-3,b=-1,即点P的坐标为(-3,-1),所以直线l恒过点P(-3,-1).将点P(-3,-1)代入(x+4)2+(y-1)2中,可得(-3+4)2+(-1-1)2<25,所以点P(-3,-1)在圆内,从而过点P的直线l与圆C恒有两个交点.(3)解当PC与直线l垂直时,弦长最小,kPC=-2,所以直线l的斜率为12,所以直线l的方程为x-2y+1=0.11在平面直角坐标系xOy中,已知圆Q:x2+y2-12x+32=0,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q交于不同的两点A,B.(1)求k的取值范围;(2)设AB的中点为M,是否存在常数k,使得直线OM直线PQ?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解(1)圆Q的方程可写成(x-6)2+y2=4,则Q(6,0),设过点P(0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2.代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理,得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.又直线与圆Q交于不同的两点A,B,所以=4(k-3)2-4×36(1+k2)=16(-8k2-6k)>0,即16k(8k+6)<0,解得-34<k<0,即k的取值范围为-34,0.(2)假设存在满足题意的常数k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Mx1+x22,y1+y22.由方程得x1+x2=-4(k-3)1+k2,所以y1+y2=k(x1+x2)+4=12k+41+k2,而kPQ=0-26-0=-13,kOM=y1+y2x1+x2,要使OMPQ,则kPQ=kOM=y1+y2x1+x2=-13,即12k+4-4(k-3)=-13,解得k=-34.由(1)知没有符合题意的常数k.5