复变函数总复习材料

总 复 习,第三章 积分,一、参数方程法 二、原函数法 三、积分公式法,步骤：1、写出曲线C的参数方程:,一、参数方程法（p51）,2、,3、分成实部和虚部分别按实变函数的积分方法积分。,二、原函数法（p58 Th3）,三、积分公式法,1、柯西积分公式（p62）,2、高阶导数公式（p64）,特点：f(z)在C上连续，D内解析，即被积函数在C内只有一个奇点。,P60推论4,P60推论4,第四章 级数,一、求幂级数的收敛半径,1、（p79）定理2,2、求函数f(z)在z0点泰勒级数的收敛半径（p82Th2） R= z0到f(z)所有奇点中最近的距离,二、级数的展开泰勒级数/洛朗级数,1、泰勒级数展开定理（p81定理1）,若f(z)在D内解析，则,2、初等函数的泰勒展开式（p84）,3、 型的泰勒展开方法（z=z0点）,（1）将f(z)分解成两个简单分式,若z-a或z-b中有z-z0，则省去此步,（2）将分解成两个简单分式的分母分别整理出(z-z0),（3）每个分式都提取分母中的常数项整理成的如下形式,（4）代入公式,4、洛朗级数展开定理（p87定理）,若f(z)在D内解析，则,5、 型的洛朗级数展开方法 （在a|z-z0|b）,（2）将f(z)分解成两个简单分式,若z-a或z-b中有z-z0，则省去此步,（3）将分解成两个简单分式的分母分别整理出(z-z0),（4）由每个分式都提取分母中的常数项或(z-z0),（5）代入公式,（1）由,三、孤立奇点,可去奇点0个,m级极点有限个,本性奇点无限个,洛朗展开式中负幂次项的个数,1、不展开成洛朗级数，判断f(z)孤立奇点的类型,法一： 可去奇点,极点,本性奇点,法二：若,即若g(zi)=0, 且zi为分子g(z)的m1级零点，为分母h(z)的m2级零点。,1、令分母h(z)=0,得f(z)所有的孤立奇点：zi,2、将1中所得的孤立奇点zi代入分子g(z),可去奇点,m2- m1级极点,3、本性奇点,四、留数,1、若f(z)在D内解析，z0为f(z)的一个孤立奇点,则 在D内，可以展开成洛朗级数：,留数-,2、留数的计算,可去奇点,m级极点,本性奇点将在点去心邻域展开成洛朗级数，,3、留数的应用,（1）计算正向闭曲线上的积分 留数定理 （p102定理1）,zk为f(z)在C内所有的孤立奇点,（2）留数在定积分计算上的应用 （p106）,一、计算 型积分,计算步骤：,二、计算 型积分,三、计算 型积分,