数学基础矢量分析

1,第一章 数学基础（矢量分析）,主 要 内 容 标积、矢积、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理,引言,矢量代数、矢量微积分：电磁场理论研究必不可少 矢量为复杂现象提供紧凑的数学描述，并且便于直观想像和运算变换,2,例 电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。 实际上， 所有实数都是标量。,你能列举多少标量、矢量？,1-1 标量和矢量,电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。,标量,一个仅用大小就能够完整描述的物理量,矢量,一个有大小和方向的物理量,力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。,3,矢量A在空间可用一有向线段表示,几何表示,A = B,4,1-2 矢量的代数运算, 矢量加法,也可用平行四边形法则得到,矢量加法、减法的平行四边形法则,矢量加法按平行四边形法则进行, 矢量减法,的始端（尾tail）和 的末端（尖tip）重合,两矢量相加,两矢量相减,B,5,两个矢量的加减运算：对应的坐标分量的相加和相减,直角坐标系,(AxBx , AyBy , BzAz ),矢量与标量的乘法运算,6,标积 (点积 )的基本性质,服从交换律和分配律,A·B=B·A A·(B+C)=A·B+A·C,直角坐标系,矢量A的大小,矢量A的模,两个矢量的标积是一个标量, 矢量的标积（点积 ，内积，）,矢量的乘积包括标积和矢积,1.3 矢量的标积和矢积,7, 模为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）,任一矢量A可写成,矢量A的单位矢量,任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积,ex、 ey 、 ez,x轴、y轴、z轴方向上的单位矢量,矢量A的方向余弦,8,等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 记为,标积（点积 dot product)的几何意义,任意两个矢量A与B的点积是一个标量,标积的图示,标量积(Scalar Product),两非零矢量的点积为零，则两矢量正交,两矢量平行时点积最大,9,直角坐标系,则两矢量的矢积的代数定义可用行列式表示为,A = Axex + Ayey + Azez B = Bxex + Byey + Bzez, 矢量的矢积 (叉积 ，外积， ),10,矢积 (叉积 cross product )的几何意义,（右手螺旋）,两个不为零的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行 或 两个相互平行矢量的叉积一定等于零,11,叉积的图示,右手螺旋关系,矢量积不服从交换律， 但服从分配律,12,场描述在空间一定区域所有点的一个物理量,矢量场 矢量的空间分布构成矢量场,标量场,静态场：场不随时间变化(static field） 也称为时不变场（time-invariant field） 静止电荷产生的场（静电场）、 恒定电流建立的场（静磁场）,时变场（time-varing field）,温度场、气体压力、海拔、电位,流体的速度和加速度、重力场、电场, 场的概念,标量的空间分布构成标量场,每点单纯用一个数来说明,空间每个点的量同时用大小和方向来说明,矢量的大小及方向与空间坐标无关,常矢量或常矢,13,1.4 标量场的梯度,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。,例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,标量场中各点标量的大小可能不等，因此某点标量沿着各个方向的变化率可能不同。,14,梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。,在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为,式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。,若引入算符，它在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,15,令 u(x, y, z)=C, C为任意常数,标量场的等值面,一个标量场u可以用一个标量函数来表示,直角坐标系,u=u(x, y, z),曲面,梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。,16, 梯度的性质,（1） 方向导数等于梯度在该方向上的投影,（2） 标量场u中每一点P处的梯度， 垂直于过该点的等值面， 且指向函数u(P)增大的方向。 也就是说， 梯度就是该等值面的法向矢量。,例,梯度运算规则,17,通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量 表示，即,1-5 矢量场的通量与散度,通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。,18,由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即，,可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。,19,散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即,式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。,直角坐标系中散度可表示为,20,因此散度可用算符 表示为,高斯定理 (散度定理),或者写为,从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。,21,在直角坐标系中， 散度的表达式为,算符,散度定理,22,散度运算规则,直角坐标系，梯度的散度为,23,如果要求梯度的散度，就要进行“·”的运算，·记作2，叫作拉普拉斯算符，在直角坐标下，按算符的定义,拉普拉斯算子(Laplace Operator),例,24,环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲 线的环量，以 表示，即,1-6 矢量场的环量与旋度,可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,25,由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘积。即,式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。,26,旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即,式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。,27,直角坐标系中旋度可用矩阵表示为,或用算符 表示为,应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。,28,斯托克斯定理,同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。,或者写为,29,旋度运算规则,例,已知一矢量场 F = exxy - ey2x , 试求该矢量场的旋度.,梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性,30,散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。,1-7 无散场和无旋场,两个重要公式：,左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。,右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。,31,若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为,1-8 亥姆霍兹定理,式中,可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。,32,1-9 正交曲面坐标系,已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为,式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？,33,直角坐标系,直角坐标系,单位矢量的标量积,单位矢量的矢量积,34,在直角坐标系中，梯度、散度、旋度可表示为,35,圆柱坐标系,圆柱坐标系,单位矢量的点积和叉积,36,矢量函数A在圆柱坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为,37,圆柱坐标系单位矢量的变换,单位矢量 和 在单位矢量 和 上的投影,x=cos y=sin z=z,圆柱坐标与直角坐标的关系,38,从直角到圆柱坐标系单位矢量的变换矩阵形式,将上式求逆即可得到从圆柱坐标系到直角坐标系的转换关系,39,微分体积元,dl=d, dl=d, dlz=dz,三个边长,微分长度元,三个坐标面的面元,微分体积元,40,球坐标系,球坐标系,单位矢量的点积和叉积,41,矢量函数A在球坐标系中的梯度、散度、旋度表达式分别为,42,球坐标与直角坐标之间的关系,x=r sin cos y=r sin sin z=r cos,球坐标的三个单位矢量在ax、 ay和az 上的投影,43,直角坐标系中的单位矢量变换到球坐标的表达式为,将上式求逆即可得到球坐标中的单位矢量变换到直角坐标的表达式为,44,微分体积元,三个边长,微分长度元,三个坐标面的面元,微分体积元,dlr=dr, dl=rd, dl=r sind,45,矢量运算的几个恒等关系,从恒等关系可知， 旋度的散度等于零，而梯度的旋度等于零,46,小 结,矢量的运算：标量积、矢量积 算符既是矢量，又有微分运算功能。作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场·A，如果进行一矢积运算可得到一矢量A。 作用于一标量场u可得到一矢量场u。 矢量场A的散度divA反映矢量场的通量体密度，是一标量。divA= ·A 矢量场A的旋度CurlA反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA = A。 标量场u的梯度gradu是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向 gradu = u 散度定理和斯托克斯定理 无散场和无旋场 亥姆霍兹定理