数学基础矢量分析
46页1、1,第一章 数学基础(矢量分析),主 要 内 容 标积、矢积、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理,引言,矢量代数、矢量微积分:电磁场理论研究必不可少 矢量为复杂现象提供紧凑的数学描述,并且便于直观想像和运算变换,2,例 电压、温度、时间、质量、电荷等都是标量。 实际上, 所有实数都是标量。,你能列举多少标量、矢量?,1-1 标量和矢量,电磁场中遇到的绝大多数物理量, 能够容易地区分为标量(Scalar)和矢量(Vector)。,标量,一个仅用大小就能够完整描述的物理量,矢量,一个有大小和方向的物理量,力、位移、速度、力矩、电场强度、磁场强度等都是矢量。,3,矢量A在空间可用一有向线段表示,几何表示,A = B,4,1-2 矢量的代数运算, 矢量加法,也可用平行四边形法则得到,矢量加法、减法的平行四边形法则,矢量加法按平行四边形法则进行, 矢量减法,的始端(尾tail)和 的末端(尖tip)重合,两矢量相加,两矢量相减,B,5,两个矢量的加减运算:对应的坐标分量的相加和相减,直角坐标系,(AxBx , AyBy , BzAz ),矢量与标量的乘法运算,6,标积 (点积 )的基本性质,服从交换
2、律和分配律,AB=BA A(B+C)=AB+AC,直角坐标系,矢量A的大小,矢量A的模,两个矢量的标积是一个标量, 矢量的标积(点积 ,内积,),矢量的乘积包括标积和矢积,1.3 矢量的标积和矢积,7, 模为1的矢量称为单位矢量(Unit Vector),任一矢量A可写成,矢量A的单位矢量,任一矢量等于该矢量的模与其单位矢量的乘积,ex、 ey 、 ez,x轴、y轴、z轴方向上的单位矢量,矢量A的方向余弦,8,等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 记为,标积(点积 dot product)的几何意义,任意两个矢量A与B的点积是一个标量,标积的图示,标量积(Scalar Product),两非零矢量的点积为零,则两矢量正交,两矢量平行时点积最大,9,直角坐标系,则两矢量的矢积的代数定义可用行列式表示为,A = Axex + Ayey + Azez B = Bxex + Byey + Bzez, 矢量的矢积 (叉积 ,外积, ),10,矢积 (叉积 cross product )的几何意义,(右手螺旋),两个不为零的矢量的叉积等于零, 则这两个矢量必然相互平行 或 两个相互平行矢量的叉
3、积一定等于零,11,叉积的图示,右手螺旋关系,矢量积不服从交换律, 但服从分配律,12,场描述在空间一定区域所有点的一个物理量,矢量场 矢量的空间分布构成矢量场,标量场,静态场:场不随时间变化(static field) 也称为时不变场(time-invariant field) 静止电荷产生的场(静电场)、 恒定电流建立的场(静磁场),时变场(time-varing field),温度场、气体压力、海拔、电位,流体的速度和加速度、重力场、电场, 场的概念,标量的空间分布构成标量场,每点单纯用一个数来说明,空间每个点的量同时用大小和方向来说明,矢量的大小及方向与空间坐标无关,常矢量或常矢,13,1.4 标量场的梯度,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。,例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为,标量场中各点标量的大小可能不等,因此某点标量沿着各个方向的变化率可能不同。,14,梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数,梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见,梯度是一个矢量。,在直角坐标系中,标量场 的梯度可表示为,式中g
4、rad 是英文字母 gradient 的缩写。,若引入算符,它在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,15,令 u(x, y, z)=C, C为任意常数,标量场的等值面,一个标量场u可以用一个标量函数来表示,直角坐标系,u=u(x, y, z),曲面,梯度的方向与等值面垂直,且指向标量场数值增大的方向。,16, 梯度的性质,(1) 方向导数等于梯度在该方向上的投影,(2) 标量场u中每一点P处的梯度, 垂直于过该点的等值面, 且指向函数u(P)增大的方向。 也就是说, 梯度就是该等值面的法向矢量。,例,梯度运算规则,17,通量: 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲 面 S 的通量,以标量 表示,即,1-5 矢量场的通量与散度,通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源;当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。因此,当闭合面中有源时,矢量通过该闭合面的通量一定为正;反之,当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以,前述的源称为
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