【新步步高】2016-2017学年高二数学苏教版必修5课件：1.2 余弦定理（一）
§1.2 余弦定理（一）,Contents Page,明目标知重点,填要点 记疑点,探要点 究所然,内容 索引,01,02,03,当堂测 查疑缺,04,1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.,明目标、知重点,1.余弦定理 三角形任何一边的 等于其他两边 的和减去这两边与它们 的余弦的积的 . 即a2 ，b2 ， c2 .,填要点·记疑点,平方,平方,夹角,两倍,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2.余弦定理的推论cos A ；cos B ；cos C .,3.余弦定理与勾股定理的关系 在ABC中，c2a2b2C为 ；c2>a2b2C为；c2<a2b2C为 .,直角,钝角,锐角,探要点·究所然,情境导学,我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，如果已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢(如下图所示)？这是余 弦定理所能解决的问题，这一节我们 就来学习余弦定理及其应用.,探究点一 利用向量法证明余弦定理,小结 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.这就是余弦定理.,思考2 在思考1中，我们是用向量 ， 的和表示的向量，然后通过向量的数量积推出的余弦定理，若用两个向量的差表示向量 又如何推导余弦定理？,即a2b2c22bccos A， 同理可证b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C.,思考3 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？ 答 如下图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，,BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A， 即a2b2c22bccos A. 同理可证：b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.,思考4 根据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？ 答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角.,例1 在ABC中， (1)已知b3，c1，A60°，求a； 解 由余弦定理，得 a2b2c22bccos A 32122×3×1×cos 60°7， 所以a 7 .,例1 (2)已知a4，b5，c6，求A.(精确到0.1°) 解 由余弦定理，得 cos A b2c2a2 2bc 526242 2×5×6 0.75. 所以A41.4°.,反思与感悟 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手.,跟踪训练1 在ABC中，已知a2，b2 ，C15°，求A.,因为b>a，所以B>A，所以A30°.,探究点二 余弦定理在实际生活中的应用,例2 A，B两地之间隔着一个水塘，如图，现选择另一点C，测得CA182 m，CB126 m，ACB63°，求A，B两地之间的距离.(精确到1 m),解 由余弦定理，得 AB2CA2CB22CA·CBcos C 182212622×182×126cos 63°28 178.18， 所以AB168(m). 答 A，B两地之间的距离约为168 m.,反思与感悟 测量两个不可到达的点之间的距离问题.要把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题.,跟踪训练2 某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是_. 解析 由余弦定理： x293x13， 整理得：x23x40， 解得x4.,4,探究点三 勾股定理与余弦定理的关系,思考 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 答 若ABC中，C90°，则cos C0，将cos C0代入余弦定理得c2a2b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.,例3 用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时，a2b2>c2；当C为钝角时，a2b20， 由余弦定理，得c2a2b22abcos Cc2. 同理可证，当C为钝角时，a2b2<c2.,反思与感悟 (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.,跟踪训练3 在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状. 解 因为abcsin Asin Bsin C245， 所以可令a2k，b4k，c5k(k>0). c最大，cos C (2k)2(4k)2(5k)2 2×2k×4k <0， 所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.,当堂测·查疑缺,1,2,3,4,1,2,3,4,解析 a>b>c，C为最小角，,3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_.,1,2,3,4,解析 设顶角为C，因为l5c，且ab2c，C为最小角，,4.在ABC中，已知A60°，最大边长和最小边长恰好是方程x27x110的两根，则第三边的长为_. 解析 设最大边为x1，最小边为x2， 则x1x27，x1x211，,1,2,3,4,4,1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.,呈重点、现规律,2.当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系. 3.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.,
