高中数学-函数模型及其应用教材

第九节 函数模型及其应用,1三种函数模型之间增长速度的比较,单调递增,单调递增,单调递增,logaxxnax,1函数yx2与y2x在(0，)上函数值是如何变化的？ 【提示】 当x(0，2)时，2xx2，当x(2，4)时，x22x，当x(4，)时，2xx2. 2直线上升、指数增长、对数增长各有什么特点？ 【提示】 直线上升，匀速增长；指数增长，先慢后快，其增长量成倍增加，可用“指数爆炸”形容；对数增长；先快后慢，其增长速度缓慢,1(人教A版教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( ),【解析】 由题意知h205t，故选B.【答案】 B,2拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)0.5×m1(单位：元)，其中m>0，m表示不大于m的最大整数(如3.623，44)，当m0.5，3.2时，函数f(m)的值域是( ) A1，2，3，4 B1，1.5，2，2.5 C1，1.5，2.5，3 D1.5，2，2.5 【解析】 当m0.5，3.2时，m所有可能值为0，1，2，3共四个，故f(m)的值域为1，1.5，2，2.5 【答案】 B,【答案】 B,4某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_ 【解析】 已知本金为a元，利率为r，则 1期后本利和为yaara(1r)， 2期后本利和为ya(1r)a(1r)ra(1r)2， 3期后本利和为ya(1r)3， x期后本利和为ya(1r)x，xN. 【答案】 ya(1r)x，xN,5(2013·武汉模拟)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍,【答案】 6 10 000,【审题视点】 计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值,卡盟排行榜 www.kadianwl.com 卡盟,Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。 Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等,1本题在求规划实施前最大利润时，易忽视二次函数的特性，直接把x60代入求解，造成错误答案 2(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题,某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291(2)(注：利润和投资单位：万元),(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？,已知某物体的温度(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：m·2t21t(t0，并且m0) (1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围 【思路点拨】 (1)解关于2t的一元二次方程求解 (2)转化为恒成立问题求解,1解答本题的关键是把所求解问题转化为一元二次方程或二次函数问题求解 2(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示(2)应用指数函数模型时，先设定模型将有关已知数据代入计算验证，确定参数,(2013·杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数,(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) 【思路点拨】 (1)当20x200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0x200时，分段函数v(x)(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值,1理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)，是求解本题的关键要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值 2实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解,(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少个小时后，学生才能回到教室？,特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域,解决实际应用题的一般步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论,从近两年高考试题看，对函数的实际应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、导数等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力,规范解答之二 函数建模在实际问题中的应用)(14分)(2012·江苏高考)如图293，建,(1)求炮的最大射程 (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由,【解题程序】 第一步：根据题意建立方程，确定x、k的范围； 第二步：建立炮的射程的函数模型，并求最大值； 第三步：把所求问题转化为方程有解问题； 第四步：把方程有解问题转化为一元二次方程有正根问题； 第五步：列不等式求解，用数学结果回答实际问题,易错提示：(1)未读懂题意，不能建立x与k的函数关系 (2)不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题 (3)不能正确列不等式求解 防范措施：(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”准确寻求各量之间的关系 (2)在求解过程中应分清变量之间的辨证关系，结合所求，合理转化,(3)根据一元二次方程列不等式(组)时，首先判断两根之和与两根之积的正负，根据它们的正负确定如何列不等式(组),1(2013·宜春模拟)某市原来居民用电价为0.52元/kw·h，换装分时电表后，峰时段(早上8点到晚上9点)的电价0.55元/kw·h，谷时段(晚上9点到次日早上8点)的电价为0.35/kw·h，对于一个平均每月用电量为200 kw·h的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为( ) A110 kw·h B114 kw·h C118 kw·h D120 kw·h,【解析】 设在峰时段的平均用电量为x kw·h，由题意知0.52×2000.55x0.35(200x)0.52×200×10%，解得x118，故选C. 【答案】 C,2(2013·江门模拟)小孟进了一批水果，如果他以每斤1.2元的价格出售，那他就会赔4元；如果他以每斤1.5元的价格出售，一共可赚8元，现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为( ) A2.6元 B2.2元 C2.8元 D1.3元,【答案】 A,课后作业（十二）,