2017年原理设计与分析算法习题

1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问 题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性: _,_,_,_,_。2.算法的复杂性有_和_之分，衡量一个算法好坏的标 准是_。3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 _。4.若序列 X=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，请给出序列 X 和 Y 的一 个最长公共子序列_。5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含 _。6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干_，先求解 _，然后从这些_的解得到原问题的解。7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_。 8.0-1 背包问 题的回溯算法所需的计算时间为_,用动态规划算法所需的计算时 间为_。9.动态规划算法的两个基本要素是_和_。10.二分搜索算法是利用_实现的算法。二、综合题（50 分）1.写出设计动态规划算法的主要步骤。2.流水作业调度问题的 johnson 算法的思想。3.若 n=4，在机器 M1 和 M2 上加工作业 i 所需的时间分别为 ai 和 bi，且 (a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2,b3,b4)=(8,2,15,9)求 4 个作业的最优调 度方案，并计算最优值。4.使用回溯法解 0/1 背包问题：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空间 有长度为 3 的 0-1 向量组成，要求用一棵完全二叉树表示其解空间（从根出发， 左 1 右 0），并画出其解空间树，计算其最优值及最优解。5.设 S=X1，X2，···，Xn是严格递增的有序集，利用二叉树的结点来存 储 S 中的元素，在表示 S 的二叉搜索树中搜索一个元素 X，返回的结果有两种 情形，（1）在二叉搜索树的内结点中找到 X=Xi，其概率为 bi。（2）在二叉搜 索树的叶结点中确定 X（Xi，Xi+1），其概率为 ai。在表示 S 的二叉搜索树 T 中，设存储元素 Xi 的结点深度为 Ci；叶结点（Xi，Xi+1）的结点深度为di，则二叉搜索树 T 的平均路长 p 为多少？假设二叉搜索树 Tij =Xi，Xi+1，···，Xj最优值为 mij，Wij= ai- 1+bi+···+bj+aj，则 mij(1=bi；将 N1 中作业按 ai 的非减序排序得到 N1，将 N2 中作业按 bi 的非增序排序得到 N2；N1中作业接 N2中作业就构成了满足 Johnson 法则的最优调度。3.步骤为：N1=1，3，N2=2，4；N1=1，3， N2=4，2；最优值为：384.解空间为(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)。 解空间树为：该问题的最优值为：16 最优解为：（1，1，0） 5.二叉树 T 的平均路长 P=bi*(1+Ci)+aj*dji=1nnj=01.mij=Wij+minmik+mk+1j (1j)6.已知一个背包的容量为 C，有 n 件物品，物品 i 的重量为 Wi，价值为 Vi，求 应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。 三、简答 题void sort(flowjope s,int n) int i,k,j,l;for(i=1;in) break;/-没有 ai，跳出elsefor(j=k+1;jsj.a) k=j;swap(si.index,sk.index);swap(si.tag,sk.tag); l=i;/-记下当前第一个 bi 的下标for(i=l;i=0;r-) /自底向上递归计算 for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1c> tr+1c+1) 2 ；else 3 ；3、Hanoi 算法Hanoi(n,a,b,c)if （n=1） 1 ；else 2 ；3 ；Hanoi(n-1,b, a, c);4、Dijkstra 算法求单源最短路径du:s 到 u 的距离 pu:记录前一节点信息Init-single-source(G,s)for each vertex vVGdo dv=; 1 ds=0Relax(u,v,w)if dv>du+w(u,v)then dv=du+wu,v;2dijkstra(G,w,s)1. Init-single-source(G,s)2. S=3. Q=VG4.while Q<> do u=min(Q)S=Su for each vertex 3 do 4四、算法理解题（本题 10 分）根据优先队列式分支限界法，求下图中从 v1 点到 v9点的单源最短路径，请画出求得最优解的解空间树。要求中间被舍弃的结点用×标记，获得中间解的结点用单圆圈框起，最优解用 双圆圈框起。五、算法理解题（本题 5 分）设有 n=2k 个运动员要进行循环赛，现设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他 n-1 名选手比赛各一次；每个选手一天至多只能赛一次；循环赛要在最短时间内完成。（1）如果 n=2k，循环赛最少需要进行几天；（2）当 n=23=8 时，请画出循环赛日程表。六、算法设计题（本题 15 分）分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计 0-1 背包问题。要求：说明所使用 的算法策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间。七、算法设计题（本题 10 分）通过键盘输入一个高精度的正整数 n(n 的有效位数240)，去掉其中任意 s 个 数字后，剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n 和 s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。【样例输入】178543S=4【样例输出】13答案：一、填空题（本题 15 分，每小题 1 分）1规则 一系列运算2. 随机存取机 RAM(Random Access Machine)；随机存取存储程序机 RASP(Random Access Stored Program Machine)；图灵机(Turing Machine)3. 算法效率4. 时间 、空间、时间复杂度、 空间复杂度52n6 最好 局部最优选择7. 贪心选择 最优子结构二、简答题（本题 25 分，每小题 5 分）6、分治法的基本思想是将一个规模为 n 的问题分解为 k 个规模较小的子问题， 这些子问题互相独立且与原问题相同；对这 k 个子问题分别求解。如果子问题 的规模仍然不够小，则再划分为 k 个子问题，如此递归的进行下去，直到问题 规模足够小，很容易求出其解为止；将求出的小规模的问题的解合并为一个更 大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。7、“最优化原理”用数学化的语言来描述：假设为了解决某一优化问题，需要 依次作出 n 个决策 D1，D2，Dn，如若这个决策序列是最优的，对于任何一 个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于 由前面决策所确定的当前状态，即以后的决策 Dk+1，Dk+2，Dn 也是最优的。8、某个问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。9、回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空间树上进行深度优 先搜索，解为叶子结点。搜索过程中，每到达一个结点时，则判断该结点为根 的子树是否含有问题的解，如果可以确定该子树中不含有问题的解，则放弃对 该子树的搜索，退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜索过程。在回溯法 中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜索，而是在搜索过程，逐步构 造出状态空间树，即边搜索，边构造。10、 P(Polynomial 问题)：也即是多项式复杂程度的问题。NP 就是 Non-deterministic Polynomial 的问题，也即是多项式复杂程度的非 确定性问题。NPC(NP Complete)问题，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才 能得出答案，这样的问题是 NP 里面最难的问题，这种问题就是 NPC 问题。三、算法填空（本题 20 分，每小题 5 分）1、n 后问题回溯算法(1) !Mj(3) try(i+1,M,L,R,A)(4) Aij=0(5) Mj=Li+j=Ri-j+N=02、数塔问题。（1）c<=r(2)trc+=tr+1c（3）trc+=tr+1c+13、Hanoi 算法（1）move(a,c)（2）Hanoi(n-1, a, c , b)（3）Move(a,c)4、（1）pv=NIL（2）pv=u(3) vadju（4）Relax(u,v,w)四、算法理解题（本题 10 分）五、（1）8 天（2 分）； （2）当 n=23=8 时，循环赛日程表（3 分）。 六、 算法设计题（本题 15 分） （1）贪心算法 O（nlog（n）首先计算每种物品单位重量的价值 Vi/Wi7某机器中，已知配有一个地址空间为 0000H3FFFH 的 ROM 区域。现在再用一个 RAM 芯片(8K×8)形成 40K×l6 位的 RAM 区域，起始地为 6000H。假设 RAM 芯片有 CS 和 WE 信 号控制端。CPU 的地址总线为 A15A0，数据总线为 D15D0，控制信号为 WR/ (读/写)， MREQ (访存)，要求： (1) 画出地址译码方案。 (2) 将 ROM 与 RAM 同 CPU 连接。 解： (1) 由于 RAM 芯片的容量是 8K×8，要构成 40K×16 的 RAM 区域，共需要 片 10258 81640KK，分为 5 组，每组 2 片；8K=213，故低位地址为 13 位：A12A0 每组的 2 片位并联，进行字长的位扩展 有 5 组 RAM 芯片，故用于组间选择的译码器使用 3:8 译码器，用高 3 位地址 A15A13 作译 码器的选择输入信号 地址分配情况： 各芯片组 各组地址区间 A15 A14 A13 138 的有效输出 iY ROM 0000H3FFFH 0 0 0 0Y 0 0 1 1Y