固体物理能带理论

第四章 能带理论,能带理论 研究固体中电子运动的主要理论基础, 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点, 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距, 说明了导体、非导体的区别, 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展,能带理论 单电子近似的理论,单电子近似 最早用于研究多电子原子 哈特里福克自洽场方法,能带理论的出发点 电子不再束缚于个别的原子而在整个固体内运动 共有化电子,每个电子的运动 看成是独立的在一个等效势场中的运动,共有化电子的运动状态,理想晶体 晶格具有周期性，等效势场具有周期性, 电子在晶格周期性的等效势场中运动,波动方程,晶格周期性势场, 假定原子实处在平衡位置把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰,一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理,第一步简化 绝热近似离子实质量比电子大，运动慢离子固定在瞬时位置上,第二步简化 利用哈特里一福克自治场方法 多电子问题简化为单电子问题 每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动,一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理,第三步简化 周期性势场所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场,三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理, 能量本征值的计算, 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合晶体中的电子的波函数按此函数集合展开, 将电子的波函数代入薛定谔方程确定展开式中的系数应满足的久期方程求解久期方程得到能量本征值,三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理, 电子波函数的计算, 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数得到具体的波函数, 在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合, 能带理论的局限性, 一些过渡金属化合物晶体, 价电子的迁移率小自由程与晶格常数相当_电子不为原子所共有周期场失去意义_能带理论不适用了,非晶态固体, 非晶态固体和液态金属只有短程有序两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果, 电子与电子之间的作用, 从多体问题的角度电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替 金属中的价电子系统_不能用电子气来描述了必须把价电子系统看成量子液体, 电子与晶格之间的作用, 电子和晶格相互作用在离子晶体中电子的运动会引起周围晶格畸变电子带着这种畸变一起前进的 电子不再是在周期场中的运动,04_01 布洛赫定理, 方程的解具有以下性质, 布洛赫定理,布洛赫定理 势场 具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定谔方程, 布洛赫定理,为一矢量, 当平移晶格矢量, 波函数只增加了相位因子,晶格周期性函数,电子的波函数, 布洛赫函数, 布洛赫定理的证明, 引入平移算符证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数, 利用周期性边界条件确定平移算符的本征值给出电子波函数的形式, 势场的周期性反映了晶格的平移对称性,晶格平移任意矢量 势场不变, 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符,平移任意晶格矢量,对应的平移算符,作用于任意函数, 平移算符作用于周期性势场, 平移算符 的性质, 各平移算符之间对易,对于任意函数, 平移算符和哈密顿量对易,对于任意函数,和 微分结果一样, 平移算符的本征值,T和H存在对易关系 具有共同本征函数, 周期性边界条件,对于,对于,对于, 整数, 引入矢量, 倒格子基矢,满足,平移算符的本征值,将 作用于电子波函数,平移算符的本征值, 布洛赫定理,电子的波函数,满足布洛赫定理, 晶格周期性函数, 布洛赫函数, 平移算符本征值的物理意义,1), 原胞之间电子波函数相位的变化,2) 平移算符本征值量子数, 简约波矢 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同,3) 简约波矢改变一个倒格子矢量,平移算符的本征值, 布洛赫定理, 本征值相同,为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应,简约波矢,第一布里渊区体积, 取值限制第一布里渊区,简约波矢, 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点,每个代表点的体积,状态密度,简约布里渊区的波矢数目,固体体积,04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似, 模型和微扰计算,近自由电子近似模型, 假定势场的起伏较小, 金属中电子受到原子实周期性势场的作用,零级近似 用势场平均值代替原子实产生的势场, 周期性势场的起伏量可以作为微扰来处理, 零级近似下电子的能量和波函数, 空格子中电子的能量和波函数,金属的线度,零级近似下,薛定谔方程,波函数和能量本征值,满足正交归一化, l 为整数,周期边界条件,电子的波矢取值, 能量, 微扰下电子的能量本征值,哈密顿量,量子力学微扰理论 电子的能量本征值,一级能量修正,能量本征值,二级能量修正, 按原胞划分积分, 引入积分变量 ,势场是晶格周期性函数,1),2), V(x) 第n个傅里叶系数,二级修正项, 电子的能量本征值, 微扰下电子的波函数,电子的波函数,波函数的一级修正, 计入微扰电子的波函数,令,可以证明,电子波函数, 具有布洛赫函数形式, 电子波函数的意义,1) 电子波函数和散射波, 前进的平面波, 势场作用产生的散射波,散射波的波矢,相关散射波成份的振幅,相邻原子的散射波有相同的相位,散射波,电子入射波波长, 布拉格反射条件在正入射时的结果,波函数一级修正项,散射波成份的振幅, 微扰法不再适用了,入射波波矢,2) 电子波函数和不同态之间的相互作用,在零级波函数 中掺入其它零级波函数, 能量差越小掺入部分越大,当 时,两个状态具有相同的能量 导致了波函数的发散, 电子能量的意义,二级能量修正,当, 电子的能量是发散的, k和k两个状态具有相同的能量_k和k态简并, 电子波矢在 附近的能量和波函数,简并微扰 波函数由简并波函数线性组合构成,状态, 是一个小量, 主要影响的态, 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响,状态 对状态 的影响,简并波函数,薛定谔方程,应用,分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分,利用,线性代数方程,a, b有非零解,1),波矢k离 较远，k状态的能量和状态k差别较大,将 按 展开,能量本征值,k和k能级相互作用 原来能级较高的k提高原来能级较低的k下压,量子力学中微扰作用 两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了原来较低的能量降低了, 能级间“排斥作用”, 原来能级较高的k提高原来能级较低的k下压,2),波矢k非常接近 ，k状态的能量和k能量差别很小,将 按 展开, 结果分析,1) 两个状态k和k微扰后 能量变为E+和E-,原能量高的态 ，能量提高；原能量低的态 能量降低,两个相互影响的状态k和k微扰后 能量变为E+和E-,2) 当 0 时,两种情形下完全对称的能级, A和B,两个状态作用后的能级, C和D,两个状态作用后的能级,3) 能带和带隙_禁带, 零级近似，电子能量曲线为抛物线, k状态不计二级能量修正, 微扰情形，电子的k不在 附近,3) 能带和带隙_禁带, 抛物线,电子的一个状态波矢,存在一个 状态, 两个态的能量相同,电子的一个状态波矢,存在一个 状态, 两个状态的能量相近,由于周期性势场的微扰,能量的突变, 微扰只考虑两个态的作用,能量本征值在 处断开, 禁带宽度,电子波矢取值, 一个l，有一个量子态k,能量本征值, 当N很大时，能量视为准连续, 晶格周期性势场的影响电子准连续的能级分裂为一系列的能带,能量本征值在 处断开,4) 能带底部，能量向上弯曲 能带顶部，能量向下弯曲,5) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处,禁带宽度, 取决于金属势场形式, 能带及一般性质,自由电子的能谱,晶体弱周期性势场的微扰 电子能谱在布里渊边界,产生了宽度 的禁带,发生能量跃变,远离布里渊区边界 近自由电子的能谱_抛物线, 每个波矢k有一个量子态原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集 能级的准连续分布形成了一系列的能带, 各能带之间是禁带在完整的晶体中禁带无允许的能级,一维布喇菲格子 能带序号_能带涉及波矢k的范围与布里渊区的对应关系,一维布喇菲格子 能带序号，能带涉及波矢k的范围与布里渊区的对应关系, 每个能带中包含的量子态数目,波矢k的取值, k的数目,每个能带对应k的取值范围,各个能带k的取值数目, 原胞的数目,计入电子自旋 每个能带中包含2N个量子态, 电子波矢和量子数简约波矢的关系, 第一布里渊区,电子的波矢,在一维情形中 m为整数,的取值范围, 平移算符本征值量子数k_简约波矢，计为简约波矢和电子波矢k之间的关系, l 为整数, 电子的波函数,可以表示为, 晶格周期性函数,将 代入, 晶格周期性函数,晶体中电子的波函数, 利用电子波矢和简约波矢的关系电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数, 用简约波矢来表示电子的能量, 电子的能量, m为整数，对应于不同的能带,第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢,移到简约布里渊区, 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像 所有能带在简约布里渊区的图像, 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区要标志一个状态需要表明 1) 它属于哪一个能带 _能带标号 2) 它的简约波矢 是什么？,电子波矢k和简约波矢 的关系, 周期性势场的起伏只使不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响,不同能带之间出现带隙 禁带, 对于一般的, 远离布里渊边界, 能量为准连续,在, 用简约波矢来表示零级波函数,