专升本高等数学测试题(答案)
专升本高等数学测试题专升本高等数学测试题1.函数是（ D ） xysin1（A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数解析解析 因为，即, 所以函数为有界函数1sin1x2sin10xxysin12.若可导，且，则有（ B ） ；)(uf)e (xfy （A）； （B）；xfyxd)e ( 'd xfyxxde )e ( 'd （C）； （D）xfyxxde )e (d xfyxxde)'e (d 解析解析 可以看作由和复合而成的复合函数)e (xfy )(ufy xue由复合函数求导法 ， xxufufye)(e)(所以 xfxyyxxde )e ( 'dd 3.=( B );0dexx(A)不收敛; (B)1; (C); (D)0.解析解析 0dexx0ex1104.的特解形式可设为（ A ） ；2(1)exyyyx(A) ； (B) ；2()exxaxb()exx axb(C) ； (D) ()exaxb2)(xbax 解析解析 特征方程为，特征根为 =1=1 是特征方程的特征重根，于是有0122 rr1r2r2()expyxaxb5.( C )，其中： ；yxyxDdd22D122yx 4(A) ； (B) ；24201ddrr2401ddrr(C) ； (D) 22201ddrr2201ddrr解析解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式当时，由于 ，表示为 ，故 sincosryrxd dd dx yr r122yx 4D21 r02yxyxDdd22d dDr r r22201ddrr6.函数=的定义域 y) 12arcsin( 312 xx解解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小 于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得,112,03,032xxx ,40,33 xx即 , 因此，所给函数的定义域为 .30 x)3,07. 求极限 = xxx222lim 2解：解：原式= )22)(2()22)(22(lim 2xxxxx= 221lim 2xx=. （恒等变换恒等变换之后“能代就代能代就代” ） 418.求极限= xttxxcos1dsin lim11解：解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得00=xttxxcos1dsin lim11)cos1 ()dsin( lim11xttxx1)1(limsinsinlim 11xxxx9.曲线在点（1，1）处切线的斜率 ,3tytx解：由题意知：, ,1,13tt1 t,33)()( dd12 131tttttt xy曲线在点（1，1）处切线的斜率为 310. 方程, 的通解为 0'2' 'yyy解：解： 特征方程, 特征根,0122 rr121 rr通解为.xxCCye )(2111. 交错级数的敛散性为 ) 1(1) 1(11 nnnn（4） =, 11 ) 1(1) 1(nn nn1) 1(1nnn而级数收敛，故原级数绝对收敛.1) 1(1nnn12 （第二个重要极限第二个重要极限）xxx)11 (lim2 解一解一 原式=，10)11(lim)11 (lim)11 ()11 (limxxxxxxxxxxx1ee1解二解二 原式=)1()( 2)11(lim2xxxx1e013.)1ln(11lim20xxxx 解 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. 00 )1ln(11lim20xxxx xx xxxxx2111 lim)1ln(lim 020 .21 )1 (21lim)1 (211lim 00 xxxxxx14.设，求.xxxfe)()( ' xf解：解：令, 两边取对数得：,xxyexyxlneln两边关于求导数得：xxxyyx xelne'1)elne ('xxyyx x即 .)elne('e xxxyx xx15.求+在闭区间上的极大值与极小值，最大值与最小值.3)(xxf23x5 , 5解：解：, 令, 得,xxxf63)(20)( xf2, 021xx, , ,66)( xxf06)0( f06)2( f的极大值为4，极小值为.)(xf )2(f0)0(f, .50)5(f200)5(f 比较的大小可知：)5(),0(),2(),5(ffff最大值为 200， 最小值为.)(xf5016.求不定积分.xxd111解：解： 令, 则 , ,于是tx 1x12tttxd2d 原式=tttd12tttd11121dd 2tttCtt1ln22=.Cxx11ln21217.求定积分 .40d11xxx解解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令 ， ，xt x2tttxd2d 当时，当时，于是0x0t4x2t=40d11xxx20d211tttt20d 1424ttt. 3ln44021ln442ttt18. 求方程 的通解；(ee )d(ee )d0x yxx yyxy解解 整理得 ，e (e1)de (e1)dxyyxxy 用分离变量法，得 ，eedde1e1yxyxyx 两边求不定积分，得 ，ln(e1)ln(e1)lnyxC 于是所求方程的通解为 ， e1e1y xC 即 e1e1y xC19., 求.xyuxsine)0, 1()1 , 0(,yu xu 解：解：因,)cos(sinecosesinexyyxyyxyxyxuxxx,xxyyuxcose,1)0cos0(sine0)1 , 0( xu.e) 10(cose)0, 1( yu20.画出二次积分的积分区域并交换积分次序.xyxfyyyd,d2242422 0D解：解：D 242242, 20yxyy的图形如右图，由图可知，也可表为D ,40, 402xxyx所以交换积分次序后，得.yyxfxxxd,d24 04 021.求平行于轴，且过点与的平面方程.y) 1,5,1 ( A)3,2,3(B解一解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量.因为平面平行于轴，所以.又因为平面过点nyjn 与，所以必有.于是，取=,ABnABnjAB而=2，7，4 ，所以 =，ABn 472010 kjiki24 因此，由平面的点法式方程，得，即 .0) 1(2)5(0) 1(4zyx032 zx解二解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 ,0DCzByAx由于平面平行于轴，所以 ，原方程变为，又所求平面过点(1, 5, 1)与(3 , 2, 3)，y0B0DCzAxAB将的坐标代入上述方程，得 解之得 , ,代入所设方程，故所求平面方程为 BA, ,033,0 DCADCACA2CD3.032 zxOxy24
