二次函数综合专题训练

二次函数综合专题训练二次函数综合专题训练1.11.1 因动点产生的线段和差问题因动点产生的线段和差问题 1.在坐标平面 xoy 内，RtBOC 如图放置在坐标平面内，已知如图，tanCBO=2，将 Rt BOC 绕直角顶点 O 顺时针旋转 90°得到EOA抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A,B,C 三点。 （1）求抛物线的解析式； （2）设点 P 在坐标轴上，PAE 为等腰三角形，写出点 P 的坐标。 （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使MB-MC最大？ （4）在抛物线上是否存在点 Q，使BCQ 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标，若 不存在，请说明理由.2 （2012恩施州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ， C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D （1）抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）设点 M（3，m） ，求使 MN+MD 的值最小时 m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求 点 E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值xyOBCEA1.21.2 因动点产生的特殊三角形问题因动点产生的特殊三角形问题 3. 如图,在平面直角坐标 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA 在 x 轴的正半轴上， 边 OC 在 y 轴的正半轴上，点 D 是 OC 的中点，BEDB 交 x 轴于点 E （1）求经过点 D、B、E 的抛物线的解析式；（4 分） （2）将DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，边 BE 交线段 OA 于点 F，边 BD 交 y 轴于点G，交（1）中的抛物线于 M（不与点 B 重合），如果点 M 的横坐标为，那么结论512OF= DG 能成立吗？请说明理由；（4 分）21（3）过（2）中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分 于点 Q，且使PFE 为等腰三角形，求 Q 点的坐标（4 分）4.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（3，0） ，B（1.0） ，C（0， 3） 。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为抛物线在第二象限上的一点，设PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出 此时点 P 的坐标； （3）设抛物线的顶点为 D，DEx 轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 是等 腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。5如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于 点 C（0，3） ，对称轴是直线 x=1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D。 （1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式； （3）点 E 为 y 轴上的一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于 点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限。当线段时，求 tanCED 的值；ABPQ43当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标.1.31.3 因动点产生的特殊四边形问题因动点产生的特殊四边形问题6 (2014 恩施)已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，如图 14，OABC点，把矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点，、相交0 , 5A 25, 0CACODADBC于点 （1）求的长； （2）求直线的函数解析式及点的坐标；ECEACD（3）求经过点、抛物线的解析式；CDB （4）过点作 x 轴的垂线，交直线于点，点是抛物线上的任意一点，过点作DACFPP轴的垂线，交直线于点在抛物线上是否存在点，使以点、为xACQPPDFQ顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由PxyFEDCBAOyxEDCBAOxyDABCOxyDABCO备用图7.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB ，3OB ，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点 C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc过点AED， （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标； 若不存在，请说明理由8.yxODECFAB9 如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0） ，抛物线顶点为 E，它的对称 轴与 x 轴交于点 D直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B（-2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛 物线的对称轴交于点 F （1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（4 分） （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标； （4 分） （3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速 度匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是 菱形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由。 （4 分）备用图1.41.4 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题 10.如图，抛物线2yxbx c 的顶点为 D（1，4） ，与y轴交于点 C（0，3） ，与x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） 。 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，CD，AD，试证明ACD 为直角三角形； （3）若点 E 在抛物线上，EFx 轴于点 F，以 A、E、F 为顶点的三角形与ACD 相似， 试求出所有满足条件的点 E 的坐标。11 （2013 恩施）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B把AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0） （1）求直线 BD 和抛物线的解析式 （2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角 形与MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标 （3）在抛物线上是否存在点 P，使 SPBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明 理由12.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC （1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式； （3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证： CEQCDO； （4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存 在，请说明理由1.51.5 因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 13. 如图，OA=1，tanCAO=3，将AOC 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90°，点 C 落到 x 轴上 点 B 的位置. （1）求抛物线的表达式； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行 四边形？ 设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系14.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点， 以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标15. 如图，把两个全等的 RtABO 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边 OB、OC 在 x 轴上.已知点 A(1，2)，抛物线 yax 2bxc 经过 D、A、C 三点.（1）求该抛物线的函数解析式； （2）点 P 为射线 CD 上一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，若以点 O, D, M, P 为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点 P 的坐标； （3）将COD 沿 CA 方向平移,点 C 的对应点为 C，且点 C 始终在线段 CA 上，设 C 的横坐标为 t, COD 在平移过程中与AOB 重叠部分记为 S, 试求 S 与 t 的函数 关系式.yxDCBOA16.如图,抛物线与 x 轴分别相交于点 B、O,它的顶点为 A,连接 AB,把 AB 所的直24yxx 线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 O,得到直线 l,设 P 是直线 l 上一动点. （1）求点 A 的坐标; （2）以点 A、B、O、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出 这些特殊四边形的顶点 P 的坐标; （3）设以点 A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为 S,点 P 的横坐标为 x,当时,求 x 的取值范围. 46 268 2S【思路点拨】 （3）可求得直线 的函数关系式是 y=-2x，所以应讨论当点 P 在第二象l限时，x0 这二种情况。（1）4)2(422xxxyA(-2,-4) （2）四边形 ABP1O 为菱形时，P1(-2,4)四边形 ABOP2为等腰梯形时，P1()54 52形四边形 ABP3O 为直角梯形时，P1()58 54形四边形 ABOP4为直角梯形时，P1()512 56形（3）由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线 的函数关系式是ly=-2x 当点 P 在第二象限时，x0, 过点 A、P 分别作 x 轴的垂线，垂足为 A、P 则四边形 POAA 的面积44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP形形PAAPOAAB 的面积42421BAAS)0(84xxSSSBAAAAPO，286264S 即 286264SS2868426484xx 21242223Sxx 的取值范围是2124 2223x（1）点E在y轴上（2） 理由如下：连接AO，如图所示，在RtABO中，1AB ，3BO ，2AO1sin2AOB，30AOB由题意可知：60AOE306090BOEAOBAOE 点B在x轴上，点E在y轴上（2）过点D作DMx轴于点M1OD ，30DOM在RtDOM中，1 2DM ，3 2OM 点D在第一象限，yxODECFAB点D的坐标为3 1 22 ，由（1）知2EOAO，点E