【核按钮】2015高考新课标数学（理）配套文档：12.4　统计案例

§12.4 统计案例统计案例1了解回归分析的思想、方法及其简单应用 2了解独立性检验的思想、方法及其初步应 用 在高考中，本节主要考查考生的数据处理能力， 及在此基础上利用数据进行逻辑推理及论证的能力1回归分析 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统 计分析的一种常用方法 (2)线性回归模型用 ybxae 表示，其中 a 和 b 为模型的未知参数，e 称为_满足 E(e) _，D(e)2，2越小，精度越 _ (3)在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估 计公式分别为： ., )()( 121xbyaxxyyxx bniiniii其中， 称为样本x1nniix1y1nniiy1 点的中心. （4）残差：= 称为相应于点（,ie ix）的残差，残差平方和为 iy（5）相关指数 R2= . R2越大，说明残 差平方和 ，即模型的拟合效果 ；R2越小，残差平方和 ，即模型的拟合效 果 . 在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变 量变化的 ，R2越接近于 1，表示回归的效 果 . 2. 独立性检验 （1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类 别，像这样的变量称为_.（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表， 称为_.假设有两个分类变量 X 和 Y，它们 的可能取值分别为x1，x2和y1，y2 ，其样本频数列 联表（称为 2×2 列联表）为y1y2总计x1aba+bx2cdc+d 总计a+cb+da+b+c+d 构造一个随机变量 K2=_， 其中 n=a+b+c+d 为样本容量. 如果 K2的观测值 kk0，就认为“两个分类变量 之间有关系” ；否则就认为“两个分类变量之间没有 关系”.我们称这样的 k0为一个判断规则的临界值.按 照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系 ”错 误地判断为“两个分类变量之间有关系 ”的概率不 超过 P（K2k0）.上面这种利用随机变量 K2来判断 “两个分类变量有关系”的方法称为_.【自查自纠】1. (2) 随机误差 0 高 (3)（，）xy(4) iiyy niiiyy12)(5)1 越小 越好 越大 越差 niiniiiyyyy1212)()(贡献率 越好 2(1)分类变量 (2)列联表n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd） 独立性检验()r 是相关系数，则下列叙述2012·江西模拟中正确的个数为( ) r1，0.75时，两变量负相关很强； r0.75，1时，两变量正相关很强； r(0.75，0.3或0.3，0.75)时，两变量相 关性一般； r0.1 时，两变量相关性很弱 A1 B2 C3 D4 解：|r|越大，两变量相关性越强故选 D.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置差异的是( ) A总偏差平方和 B残差平方和 C回归平方和 D相关指数 R2 解：残差平方和描述了数据点和它在回归直线上 相应位置的差异，故选 B.利用独立性检验来考察两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与 Y 有关系” 的可信程度P(K2k0) 0.500.400.250.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828如果 K25.024，那么有把握认为“X 与 Y 有关系” 的百分数为( ) A25% B75% C2.5% D97.5% 解：K25.024，而在观测值表中对应于 5.024 的 是 0.025，有 10.02597.5%的把握认为“X 和 Y 有 关系”故选 D.在回归分析中，相关指数 R2的值越大，说明 残差平方和_ 解：R2越大，残差平方和越小，故填越小下面是一个 2×2 列联表y1y2总计x1a2173x2122537总计b46则表中 a，b 处的值分别为_ 解：a2173，a52.又a12b， b64.故填 52，64.类型一类型一 回归分析的相关概念回归分析的相关概念(1)两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R2如下，其中 拟合效果最好的模型是( ) A模型 1 的相关指数 R2为 0.98 B模型 2 的相关指数 R2为 0.80 C模型 3 的相关指数 R2为 0.50 D模型 4 的相关指数 R2为 0.25 解：相关指数越大，模型拟合效果越好故选 A.(2)下列四个命题： 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； 用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越小，说明 模型拟合的效果越好；散点图中所有点都在回归直线附近； 随机误差 e 满足 E(e)0，其方差 D(e)的大小 可用来衡量预报精确度 其中正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解：中 R2越大，拟合效果越好；中回归直线 同样可以远远偏离变异点；正确注意，e 是 随机变量，其方差衡量预报精度故选 B. 【评析】回归模型的诊断主要是看残差图上、下 是否大致均匀分布另外相关指数 R2也决定着模型拟 合的优劣，R2越大，模型拟合效果越好而随机误差 e 满足 E(e)0，D(e)2，2越小，线性回归模型预 报真实值的精度越高(1)如图的 5 个数据，去掉 D(3，10)后，下列说法错误的是( )A相关系数 r 变大 B残差平方和变大 C相关指数 R2变大 D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解：观察可知，去掉 D(3，10)后，拟合效果更 好因此相关系数变大，残差平方和变小，相关指数 变大，解释变量与预报变量的相关性变强故选 B.(2)给出下列结论： 回归分析中，可用相关指数 R2判断模型的拟合 效果，R2越大，模型的拟合效果越好； 回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合 效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； 回归分析中，可用相关系数 r 的值判断模型的 拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果， 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样 的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的 拟合精度越高 以上结论中，正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解：的判断正好相反；应改为|r|越大，模型 拟合效果越好，正确故选 B.类型二类型二 回归分析回归分析(1)已知某商品的价格 x(元)与需求量 y(件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753()画出 y 关于 x 的散点图； ()用最小二乘法求出回归直线方程； ()计算 R2的值，并说明回归模型拟合程度的 好坏 解：()散点图如图所示() ，18x4 . 7y 5121660iix 51620iiiyx所以，15. 155 512251 iiixxyxyxbii ，1 .28xbya=-1.15x+28.1.y （）列出残差表：yiiy 00.30.40.10.2yiy4.62.60.42.44.4所以，3 . 0（512 iiiyy. 2 .53（512 iiyy.994. 0（15125122 iiiiiyyyyR所以，回归模型拟合效果很好 【评析】用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越大， 说明模型拟合的效果越好另外，计算也不能出错(2)下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今 以 x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的年均价格， 求 y 关于 x 的回归方程使用12345678910年数x年均价格y（美元）2651194314941087765538484290226204解：作出散点图如图所示可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近， 因此 y 与 x 之间应是非线性相关关系 与已学函数图象比较，用来刻画题中模型更为合理 ，axbye令ln，则x，题中数据如下表所示：z y z ba x12345678910z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换 的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归 方程拟合由表中数据得0.298，b6.527(0.298)×5.58.166，a 故回归直线方程为0.298x8.166.z 则e e0.298x8.166.y z 【评析】对于非线性(可线性化)回归分析，可 通过散点图直观找到函数类型，再通过变换 zf(y)变 为线性回归问题；常用的函数类型有 f(x)kebxa，f(x)klnx, f(x)kx2，f(x)kx3， f(x) 等kx(1)已知 x，y 之间的一组数据如下表：x13678y12345()从 x，y 中各取一个数，求 xy10 的概率； ()对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为 y x1 与 y x ，试利用“最小二1 31 21 2乘法”判断哪条直线拟合效果更好 解：()各取一个数组成数对(x，y)，共有C C 25 对，其中满足 xy10 的有(6，4)，(6，5)，1 5 1 5(7，3)，(7，4)，(7，5)，(8，2)，(8，3)，(8，4)， (8，5)，共 9 对故所求概率为 P，xy10 的概率为.925925()用 y x1 作为拟合直线时，所得 y 值与 y13的实际值的差的平方和为 S1(22)2(33)(431)22 .(1034)2(1135)273用 y x 作为拟合直线时，所得 y 值与 y 的实1212际值的差的平方和为 S2(11)2(22)2(44)2 .(723)2(925)212S2S1，直线 y x 的拟合效果更好1212(2)下表是采集的商品零售额(万元)与商品流通 费率(为了方便计算，数据已作相应处理)的一组数据：商品零售额9.511.513.515.517.519.521.523.525.527.5商品流通费率6.04.64.03.22.82.52.42.32.22.1()将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作 为纵坐标，在平面直角坐标系内作出散点图；()商品零售额与商品流通费率具有线性相关关 系吗？如果商品零售额是 20 万元，那么能否预测此 时流通费率是多少呢？ 解：()散点图如图所示()散点图显示出商品流通费率和商品零售额的 变化关系并不是直线型，而是一条递减的双曲线型(反 比例函数型)两者之间不具有线性相关关系 但经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定 于商品零售额，体现着经营的规模效益，因此可以拟 合一个以商品零售额为自变量(x)，流通费率为因变量(y)的双曲线回归模型：ab× ，为了求模型中y 1 x的 a 和 b 两个参数