13.4最短路径问题同步练习题(一)

13.4 课题学习 最短路径问题（一）知识点： 1最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这 两点，与直线的交点即为所求 (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其 中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点 即为所求 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段 的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓 住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都 相同 3利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使 河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的 问题 同步练习： 1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个 点，在l上找一个点C，使CACB最短，这时 点C是直线l与AB的交点2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使 CACB最短，3在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供 水ABl(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两 岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？6.(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示 两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在 C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条 行走路线，使其所走的总路程最短？7.如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点 A、B的距离之差最大参考答案： 1.2.这时先作点B关于直线l的对称点B，则点C是直线l与AB的交 点为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，连 接AC，BC，BC，证明ACCBACCB.如下： 证明：由作图可知，点B和B关于直线l对称， 所以直线l是线段BB的垂直平分线 因为点C与C在直线l上， 所以BCBC，BCBC. 在ABC中，ABACBC， 所以ACBCACBC， 所以ACBCACCB. 3. 解：解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B； (2)连接AB交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点4.解：解：(1)如图 1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等也可分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，1 2 两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求 (2)如图 2，画出点A关于河岸EF的对称点A，连接AB交EF于P，则 P到A，B的距离和最短5.解：解：(1)如图 2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽 (2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 则MN为所建的桥的位置 6.解：解：如图 b. (1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接 C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路线行走，所走的总 路程最短7.解：解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点 A，AB的连线交l于点C，则点C即为所求理由：在直线l上任找一点 C(异于点C)，连接CA，CA，CA，CB.因为点A，A关于直线l对称， 所以l为线段AA的垂直平分线，则有CACA，所以 CACBCACBAB.又因为点C在l上，所以CACA.在 ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCACB. 点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值 问题是常用的一种方法