量子力学导论Chap5-3

§5.5 全同粒子系与波函数的交换对称性,1、全同粒子系的交换对称性 （1）全同粒子系自然界中具有多种微观粒子，如电子、质子、中子、光子以及各类介子等同一类粒子具有完全相同的内禀(Intrinsic)属性，如静止质量、电荷、自旋、磁矩等等与生俱来的本质属性 将属于同一类的粒子称为全同粒子(Identical particles)。它与粒子态的量子化有本质上的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性。,（2）交换对称性 同类粒子组成多粒子系，例如原子和分子中的电子系，原子核中的质子系和中子系，金属中的电子气等。 全同多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性。 最简单的例子，氦原子中的两电子系的哈密顿量,两个电子交换位置，H 显然应保持不变 即P12是两个粒子交换的算符，也就是全同粒子系的交换对称性反映到量子态的波函数上，就有了深刻内容：例如对于氦原子，在某处测得一个电子时，不能（其实也没有必要）认定究竟是哪个电子。对于全同粒子系，任何两个粒子交换一下，粒子系的量子态仍保持不变，因此一切测量结果也不变。这对波函数提出了强的限制，即全同粒子系波函数必须满足交换对称性。,（3）全同性可观测 全同性不是一个抽象的东西，实实在在可以被观测到，如双原子分子的转动光谱的强弱交替现象，全同电子系的交换关联引起的磁性等等。（4）数学描述 N个全同粒子多体(many-body)系波函数,由于全同性，Pij和所描述的量子态仍然相同，所以，二者最多相差一个常数因子C。可见， Pij的本征值只有两个（+1和-1），也就是取+1时的 称为对称波函数，取-1时称为反对称波函数。,（4）交换算符Pij是个守恒量由于交换算符有很多，它们都与 H 对易，都是守恒量。但守恒量不一定都具有共同本征态.不过，从Pij算符自身可以看出，不应有那个算符地位特殊（即不会出现一个态是P12的本征态而不是P23的本征态）。因此，所有的交换对称算符有共同本征态，即完全的对称波函数或完全的反对称波函数。 此外， Pij是个守恒量，即全同粒子系的波函数的交换对称性不随时间变化，它们的统计性质（Bose统计或Fermi统计）是不变的。,（5）玻色子和费米子 迄今为止的所有实验证实，全同粒子系波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的关系：凡是自旋为 整数倍(s = 0,1,2)的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的。在统计方法上，遵守玻色-爱因斯坦规律，这样的粒子称为玻色子，如 介子(s = 0)，光子( s = 1)等。凡是自旋为 半整数倍(s = 1/2, 3/2, 5/2, )的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的。在统计方法上，遵守费米-狄拉克规律，这样的粒子称为费米子，如电子(s = 1/2)、质子和中子等。,注意： 1）由基本粒子组成的复杂粒子，例如 粒子或其他原子核，如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变，即内部自由度全部被冻结，则全同性仍然适用，由多个 粒子组成的体系也可当作全同粒子系来处理。 2）如果这种复杂粒子由玻色子构成，则仍为玻色子；如果由奇数个费米子构成，则仍为费米子，如果由偶数个费米子构成，则成为玻色子。 例如：,2、两个全同粒子组成的粒子系 前提条件：忽略全同粒子间的相互作用 体系哈密顿量：其中，h(q) 表示单粒子的哈密顿量。由于是全同粒子， h(q1) 和 h(q2) 形式上完全一样。 很明显单粒子本征方程：k：单粒子能量 k：对应k的单粒子归一化波函数 k：对应本征方程的一组完备的量子数,设两个粒子中一个处于 态, 另一个处于 态.则，对应的能量都是 。这是一种简并状态，称为交换简并，但这两个波函数还不一定具有交换对称性。要是它们具有交换对称性，还必须依据这两个粒子是玻色子还是费米子来进行适当组合。,（1）玻色子 要求二粒子系的波函数对于交换是完全对称的。 分两种情况讨论： 量子数 k1 k2, 归一化波函数b. 量子数 k1= k2=k, 归一化波函数,（2）费米子 二粒子系的波函数对于交换是完全反对称的。 分两种情况讨论： 量子数 k1 k2, 归一化波函数,b. 量子数 k1 = k2=k, 归一化波函数这就是费米子体系的著名的泡利不相容原理，即不允许两个费米子处于同一个单粒子态。,3、N个全同粒子组成的粒子系 （1）费米子 三个全同费米子多体系归一化完全反对称波函数,反对称化算符,注：反对称化算符的解释,推广到 N 个全同费米子体系，粒子间无相互作用,全同费米子多体系归一化完全反对称波函数 （表示成 Slater （斯莱特）行列式的形式）其中已设 N 个全同费米子分别处于k1<k2<<kN这些单粒子态上。,反对称化算符,反对称化算符的说明：P 代表 N 个费米子的一个置换。N 个费米子分别排列在 N 个单粒子态上，共有N！个排列，因此就有 N! 个置换。从标准排列 出发，经过置换 P 的作用，得到 的项数共有 N! 个。可以证明，它只好就是 Slater 展开后的N! 项。 每个置换都可以表成若干个对换（两粒子交换）之积。N! 项中有一半置换分解为奇数次对换之积，P = -1；另一半置换正好是偶数次对换之积， P = -1 。,（2）玻色子不受泡利不相容原理的限制，全同玻色子多体系可以有任意粒子处于相同的单粒子态上。体系波函数对任意两个粒子交换为完全对称的。设有ni个玻色子处于 ki 态上 (i = 1, 2, , N)。由于粒子数总量为 N 个，则有注意：这些 ni，有些可以为 0，有些可以大于1。,对称波函数表示为：注意：这里的P置换只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换，只有这样上式求和的各项才能彼此正交。,于是，有效置换的总数,正交 归一 的完 全对 称波 函数,（3）特例： 求两个全同的自由粒子 都处于动量本征态（动量 本征值分别为k和k） 它们在空间相对距离的几 率分布分三种情况讨论： 不计及交换对称性时的波函数,令其逆,最后得，不计及交换对称性波函数,这样，在距离一个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,r,r+dr,球壳体积元dV,(ii) 交换反对称波函数 分析：粒子1和2交换时，质心坐标R不变，相对位置由 r 变为 -r，忽略质心运动部分后，相对运动部分的波函数为,这样，在距离一个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,(iii) 交换对称波函数 分析：粒子1和2交换时，质心坐标R不变，相对位置由 r 变为 -r，忽略质心运动部分后，相对运动部分的波函数为,这样，在距离一个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,三种情况下的相对距离的几率分布对比: 令 x = 2kr(无量纲),（3）特例： 求两个全同的自由粒子都处于动量本征态（动量本征值分别为k和 k）它们在空间相对距离的几率分布 分三种情况讨论： 不计及交换对称性(ii) 交换反对称波函数 (iii) 交换对称波函数,b. N = 3 的全同玻色子体系 设三个单粒子态分别为1、 2和3。三种情况： (i) n1= n2= n3= 1 （只有一种对称态）,(ii) n1= 2, n2= 1, n3= 0这样的对称态共有6（3!）个,n1= 2 n2= 1 n3= 0,n1= 2 n2= 0 n3= 1,n1= 1 n2= 0 n3= 2,n1= 1 n2= 2 n3= 0,n1= 0 n2= 1 n3= 2,n1= 0 n2= 2 n3= 1,(iii) n1= 3, n2= 0, n3= 0这样的对称态共有3 ( ) 个。,n1= 3 n2= 0 n3= 0,n1= 0 n2= 3 n3= 0,n1= 0 n2= 0 n3= 3,