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量子力学导论Chap5-3

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  • 卖家[上传人]:lc****zq
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  • 上传时间:2018-10-20
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    • 1、5.5 全同粒子系与波函数的交换对称性,1、全同粒子系的交换对称性 (1)全同粒子系自然界中具有多种微观粒子,如电子、质子、中子、光子以及各类介子等同一类粒子具有完全相同的内禀(Intrinsic)属性,如静止质量、电荷、自旋、磁矩等等与生俱来的本质属性 将属于同一类的粒子称为全同粒子(Identical particles)。它与粒子态的量子化有本质上的联系,如果没有态的量子化,就谈不上全同性。,(2)交换对称性 同类粒子组成多粒子系,例如原子和分子中的电子系,原子核中的质子系和中子系,金属中的电子气等。 全同多粒子系的基本特征是:任何可观测量,特别是哈密顿量,对于任何两个粒子交换是不变的,即交换对称性。 最简单的例子,氦原子中的两电子系的哈密顿量,两个电子交换位置,H 显然应保持不变 即P12是两个粒子交换的算符,也就是全同粒子系的交换对称性反映到量子态的波函数上,就有了深刻内容:例如对于氦原子,在某处测得一个电子时,不能(其实也没有必要)认定究竟是哪个电子。对于全同粒子系,任何两个粒子交换一下,粒子系的量子态仍保持不变,因此一切测量结果也不变。这对波函数提出了强的限制,即全同粒子

      2、系波函数必须满足交换对称性。,(3)全同性可观测 全同性不是一个抽象的东西,实实在在可以被观测到,如双原子分子的转动光谱的强弱交替现象,全同电子系的交换关联引起的磁性等等。(4)数学描述 N个全同粒子多体(many-body)系波函数,由于全同性,Pij和所描述的量子态仍然相同,所以,二者最多相差一个常数因子C。可见, Pij的本征值只有两个(+1和-1),也就是取+1时的 称为对称波函数,取-1时称为反对称波函数。,(4)交换算符Pij是个守恒量由于交换算符有很多,它们都与 H 对易,都是守恒量。但守恒量不一定都具有共同本征态.不过,从Pij算符自身可以看出,不应有那个算符地位特殊(即不会出现一个态是P12的本征态而不是P23的本征态)。因此,所有的交换对称算符有共同本征态,即完全的对称波函数或完全的反对称波函数。 此外, Pij是个守恒量,即全同粒子系的波函数的交换对称性不随时间变化,它们的统计性质(Bose统计或Fermi统计)是不变的。,(5)玻色子和费米子 迄今为止的所有实验证实,全同粒子系波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的关系:凡是自旋为 整数倍(s = 0,1,2)的

      3、粒子,波函数对于两个粒子交换总是对称的。在统计方法上,遵守玻色-爱因斯坦规律,这样的粒子称为玻色子,如 介子(s = 0),光子( s = 1)等。凡是自旋为 半整数倍(s = 1/2, 3/2, 5/2, )的粒子,波函数对于两个粒子交换总是反对称的。在统计方法上,遵守费米-狄拉克规律,这样的粒子称为费米子,如电子(s = 1/2)、质子和中子等。,注意: 1)由基本粒子组成的复杂粒子,例如 粒子或其他原子核,如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变,即内部自由度全部被冻结,则全同性仍然适用,由多个 粒子组成的体系也可当作全同粒子系来处理。 2)如果这种复杂粒子由玻色子构成,则仍为玻色子;如果由奇数个费米子构成,则仍为费米子,如果由偶数个费米子构成,则成为玻色子。 例如:,2、两个全同粒子组成的粒子系 前提条件:忽略全同粒子间的相互作用 体系哈密顿量:其中,h(q) 表示单粒子的哈密顿量。由于是全同粒子, h(q1) 和 h(q2) 形式上完全一样。 很明显单粒子本征方程:k:单粒子能量 k:对应k的单粒子归一化波函数 k:对应本征方程的一组完备的量子数,设两个粒子中一个处于 态, 另

      4、一个处于 态.则,对应的能量都是 。这是一种简并状态,称为交换简并,但这两个波函数还不一定具有交换对称性。要是它们具有交换对称性,还必须依据这两个粒子是玻色子还是费米子来进行适当组合。,(1)玻色子 要求二粒子系的波函数对于交换是完全对称的。 分两种情况讨论: 量子数 k1 k2, 归一化波函数b. 量子数 k1= k2=k, 归一化波函数,(2)费米子 二粒子系的波函数对于交换是完全反对称的。 分两种情况讨论: 量子数 k1 k2, 归一化波函数,b. 量子数 k1 = k2=k, 归一化波函数这就是费米子体系的著名的泡利不相容原理,即不允许两个费米子处于同一个单粒子态。,3、N个全同粒子组成的粒子系 (1)费米子 三个全同费米子多体系归一化完全反对称波函数,反对称化算符,注:反对称化算符的解释,推广到 N 个全同费米子体系,粒子间无相互作用,全同费米子多体系归一化完全反对称波函数 (表示成 Slater (斯莱特)行列式的形式)其中已设 N 个全同费米子分别处于k1k2kN这些单粒子态上。,反对称化算符,反对称化算符的说明:P 代表 N 个费米子的一个置换。N 个费米子分别排列在

      5、N 个单粒子态上,共有N!个排列,因此就有 N! 个置换。从标准排列 出发,经过置换 P 的作用,得到 的项数共有 N! 个。可以证明,它只好就是 Slater 展开后的N! 项。 每个置换都可以表成若干个对换(两粒子交换)之积。N! 项中有一半置换分解为奇数次对换之积,P = -1;另一半置换正好是偶数次对换之积, P = -1 。,(2)玻色子不受泡利不相容原理的限制,全同玻色子多体系可以有任意粒子处于相同的单粒子态上。体系波函数对任意两个粒子交换为完全对称的。设有ni个玻色子处于 ki 态上 (i = 1, 2, , N)。由于粒子数总量为 N 个,则有注意:这些 ni,有些可以为 0,有些可以大于1。,对称波函数表示为:注意:这里的P置换只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换,只有这样上式求和的各项才能彼此正交。,于是,有效置换的总数,正交 归一 的完 全对 称波 函数,(3)特例: 求两个全同的自由粒子 都处于动量本征态(动量 本征值分别为k和k) 它们在空间相对距离的几 率分布分三种情况讨论: 不计及交换对称性时的波函数,令其逆,最后得,不计及交换对称性波函数,这样,在距离一

      6、个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,r,r+dr,球壳体积元dV,(ii) 交换反对称波函数 分析:粒子1和2交换时,质心坐标R不变,相对位置由 r 变为 -r,忽略质心运动部分后,相对运动部分的波函数为,这样,在距离一个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,(iii) 交换对称波函数 分析:粒子1和2交换时,质心坐标R不变,相对位置由 r 变为 -r,忽略质心运动部分后,相对运动部分的波函数为,这样,在距离一个粒子半径在 (r, r + dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为,三种情况下的相对距离的几率分布对比: 令 x = 2kr(无量纲),(3)特例: 求两个全同的自由粒子都处于动量本征态(动量本征值分别为k和 k)它们在空间相对距离的几率分布 分三种情况讨论: 不计及交换对称性(ii) 交换反对称波函数 (iii) 交换对称波函数,b. N = 3 的全同玻色子体系 设三个单粒子态分别为1、 2和3。三种情况: (i) n1= n2= n3= 1 (只有一种对称态),(ii) n1= 2, n2= 1, n3= 0这样的对称态共有6(3!)个,n1= 2 n2= 1 n3= 0,n1= 2 n2= 0 n3= 1,n1= 1 n2= 0 n3= 2,n1= 1 n2= 2 n3= 0,n1= 0 n2= 1 n3= 2,n1= 0 n2= 2 n3= 1,(iii) n1= 3, n2= 0, n3= 0这样的对称态共有3 ( ) 个。,n1= 3 n2= 0 n3= 0,n1= 0 n2= 3 n3= 0,n1= 0 n2= 0 n3= 3,

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