量子力学导论Chap5-3
38页1、5.5 全同粒子系与波函数的交换对称性,1、全同粒子系的交换对称性 (1)全同粒子系自然界中具有多种微观粒子,如电子、质子、中子、光子以及各类介子等同一类粒子具有完全相同的内禀(Intrinsic)属性,如静止质量、电荷、自旋、磁矩等等与生俱来的本质属性 将属于同一类的粒子称为全同粒子(Identical particles)。它与粒子态的量子化有本质上的联系,如果没有态的量子化,就谈不上全同性。,(2)交换对称性 同类粒子组成多粒子系,例如原子和分子中的电子系,原子核中的质子系和中子系,金属中的电子气等。 全同多粒子系的基本特征是:任何可观测量,特别是哈密顿量,对于任何两个粒子交换是不变的,即交换对称性。 最简单的例子,氦原子中的两电子系的哈密顿量,两个电子交换位置,H 显然应保持不变 即P12是两个粒子交换的算符,也就是全同粒子系的交换对称性反映到量子态的波函数上,就有了深刻内容:例如对于氦原子,在某处测得一个电子时,不能(其实也没有必要)认定究竟是哪个电子。对于全同粒子系,任何两个粒子交换一下,粒子系的量子态仍保持不变,因此一切测量结果也不变。这对波函数提出了强的限制,即全同粒子
2、系波函数必须满足交换对称性。,(3)全同性可观测 全同性不是一个抽象的东西,实实在在可以被观测到,如双原子分子的转动光谱的强弱交替现象,全同电子系的交换关联引起的磁性等等。(4)数学描述 N个全同粒子多体(many-body)系波函数,由于全同性,Pij和所描述的量子态仍然相同,所以,二者最多相差一个常数因子C。可见, Pij的本征值只有两个(+1和-1),也就是取+1时的 称为对称波函数,取-1时称为反对称波函数。,(4)交换算符Pij是个守恒量由于交换算符有很多,它们都与 H 对易,都是守恒量。但守恒量不一定都具有共同本征态.不过,从Pij算符自身可以看出,不应有那个算符地位特殊(即不会出现一个态是P12的本征态而不是P23的本征态)。因此,所有的交换对称算符有共同本征态,即完全的对称波函数或完全的反对称波函数。 此外, Pij是个守恒量,即全同粒子系的波函数的交换对称性不随时间变化,它们的统计性质(Bose统计或Fermi统计)是不变的。,(5)玻色子和费米子 迄今为止的所有实验证实,全同粒子系波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的关系:凡是自旋为 整数倍(s = 0,1,2)的
3、粒子,波函数对于两个粒子交换总是对称的。在统计方法上,遵守玻色-爱因斯坦规律,这样的粒子称为玻色子,如 介子(s = 0),光子( s = 1)等。凡是自旋为 半整数倍(s = 1/2, 3/2, 5/2, )的粒子,波函数对于两个粒子交换总是反对称的。在统计方法上,遵守费米-狄拉克规律,这样的粒子称为费米子,如电子(s = 1/2)、质子和中子等。,注意: 1)由基本粒子组成的复杂粒子,例如 粒子或其他原子核,如在讨论的问题或过程中内部状态保持不变,即内部自由度全部被冻结,则全同性仍然适用,由多个 粒子组成的体系也可当作全同粒子系来处理。 2)如果这种复杂粒子由玻色子构成,则仍为玻色子;如果由奇数个费米子构成,则仍为费米子,如果由偶数个费米子构成,则成为玻色子。 例如:,2、两个全同粒子组成的粒子系 前提条件:忽略全同粒子间的相互作用 体系哈密顿量:其中,h(q) 表示单粒子的哈密顿量。由于是全同粒子, h(q1) 和 h(q2) 形式上完全一样。 很明显单粒子本征方程:k:单粒子能量 k:对应k的单粒子归一化波函数 k:对应本征方程的一组完备的量子数,设两个粒子中一个处于 态, 另
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