清华离散数学(第2版)：2.2-3
1,2.2 命题逻辑等值演算,2.2.1 等值式与等值演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2.2 联结词完备集 真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词,2,等值式,定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式说明: (1) 是元语言符号, 不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有 无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.,3,真值表法,例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解,结论: (pq) (pq),4,真值表法(续),例2 判断下述3个公式之间的等值关系:p(qr), (pq)r, (pq)r 解,p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值,5,基本等值式,双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB(AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A,6,基本等值式(续),零律 A11, A00 同一律 A0A, A1A 排中律 AA1 矛盾律 AA0 蕴涵等值式 ABAB 等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位 ABBA 等价否定等值式 ABAB 归谬论 (AB)(AB) A,7,等值演算,等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 若AB, 则(B)(A) 例3 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式） (pq)r （结合律） (pq)r （德摩根律） (pq) r （蕴涵等值式）,8,实例,等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.例4 证明: p(qr) (pq) r 方法一 真值表法（见例2） 方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.,9,实例,例5 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 该式为矛盾式.,10,实例(续),(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 该式为重言式.,11,实例(续),(3) (pq)(pq)r) 解 (pq)(pq)r) (p(qq)r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的 成假赋值.,总结:A为矛盾式当且仅当A0; A为重言式当且仅当A1 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些,12,真值函数,定义2.12 称F:0,1n0,1为n元真值函数,n元真值函数共有 个 每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式,13,2元真值函数,14,联结词完备集,定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集定理2.1 下述联结词集合都是完备集: (1) S1=, , , , (2) S2=, , , (3) S3=, , (4) S4=, (5) S5=, (6) S6=, ,AB (AB)(BA),AB AB,AB (AB) (AB),AB (AB),AB (A)B AB,15,复合联结词,与非式: pq(pq), 称作与非联结词 或非式: pq(pq), 称作或非联结词pq为真当且仅当p,q不同时为真 pq为真当且仅当p,q不同时为假定理2.2 ,是联结词完备集 证 p (pp) pppq (pq) (pq) (pq)(pq) 得证是联结词完备集. 对于可类似证明.,16,2.3 范式,2.3.1 析取范式与合取范式 简单析取式与简单合取式 析取范式与合取范式 2.3.2 主析取范式与主合取范式 极小项与极大项 主析取范式与主合取范式 主范式的用途,17,简单析取式与简单合取式,文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 定理2.3 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含 某个命题变项和它的否定 (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题 变项和它的否定,18,析取范式与合取范式,析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1A2Ar, 其中A1,A2,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式 范式:析取范式与合取范式的统称 定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式,19,范式存在定理,定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, ABABAB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A(AB)AB(AB)AB,20,范式存在定理(续),(3) 使用分配律A(BC)(AB)(AC) 求合取范式 A(BC) (AB)(AC) 求析取范式例1 求(pq)r 的析取范式与合取范式 解 (pq)r (pq)r (pq)r 析取范式 (pr)(qr) 合取范式 注意: 公式的析取范式与合取范式不惟一.,21,极小项与极大项,定义2.17 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式) 中,若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次， 而且第i(1in)个文字(按下标或字母顺序排列)出现在左 起第i位上,称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项 (极大项)说明:(1) n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 (2) 2n个极小项(极大项)均互不等值 (3) 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋 值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称.,22,极小项与极大项(续),定理2.6 设mi 与Mi是由同一组命题变项形成的极小项和极 大项, 则 mi Mi , Mi mi,23,主析取范式与主合取范式,主析取范式:由极小项构成的析取范式 主合取范式:由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式定理2.7 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和 主合取范式, 并且是惟一的.,24,求主析取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的析取范式A=B1 B2 Bs, 其中Bj是简单合取 式 j=1,2, ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极小 项为止 (3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大排列,25,求主合取范式的步骤,设公式A含命题变项p1,p2,pn (1) 求A的合取范式A=B1B2 Bs, 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, ,s (2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成 Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单析取式都是长度为n的极大 项为止 (3) 消去重复出现的极大项, 即用Mi代替MiMi (4) 将极大项按下标从小到大排列,26,实例,例1(续) 求(pq)r 的主析取范式与主合取范式 解 (1) (pq)r (pq)r pq (pq)1 同一律 (pq)(rr) 排中律 (pqr)(pqr) 分配律 m4m5r (pp)(qq)r 同一律, 排中律 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m0 m2 m4 m6 分配律 得 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 可记作 (0,2,4,5,6),27,实例(续),(2) (pq)r (pr)(qr)pr p0r 同一律 p(qq)r 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M1M3qr (pp)qr 同一律, 矛盾律 (pqr)(pqr) 分配律 M3M7 得 (pq)r M1M3M7 可记作 (1,3,7),
