清华离散数学(第2版):2.2-3
39页1、1,2.2 命题逻辑等值演算,2.2.1 等值式与等值演算 等值式与基本等值式 真值表法与等值演算法 2.2.2 联结词完备集 真值函数 联结词完备集 与非联结词和或非联结词,2,等值式,定义2.11 若等价式AB是重言式, 则称A与B等值, 记作 AB, 并称AB是等值式说明: (1) 是元语言符号, 不要混同于和= (2) A与B等值当且仅当A与B在所有可能赋值下的真值都相 同, 即A与B有相同的真值表 (3) n个命题变项的真值表共有 个, 故每个命题公式都有 无穷多个等值的命题公式 (4) 可能有哑元出现. 在B中出现, 但不在A中出现的命题变项称作A的哑元. 同样,在A中出现, 但不在B中出现的命题变项称作B的哑元. 哑元的值不影响命题公式的真值.,3,真值表法,例1 判断 (pq) 与 pq 是否等值 解,结论: (pq) (pq),4,真值表法(续),例2 判断下述3个公式之间的等值关系:p(qr), (pq)r, (pq)r 解,p(qr)与(pq)r等值, 但与(pq)r不等值,5,基本等值式,双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA
2、结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB(AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A,6,基本等值式(续),零律 A11, A00 同一律 A0A, A1A 排中律 AA1 矛盾律 AA0 蕴涵等值式 ABAB 等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位 ABBA 等价否定等值式 ABAB 归谬论 (AB)(AB) A,7,等值演算,等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则: 若AB, 则(B)(A) 例3 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) (蕴涵等值式) (pq)r (结合律) (pq)r (德摩根律) (pq) r (蕴涵等值式),8,实例,等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不 等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假.例4 证明: p(qr) (pq) r 方法一 真值表法(见例2) 方法二 观察法. 容易看出000使左边成真, 使右边成假. 方法三 先用等值演算化简公式, 再观察.,9,实例,例5 用等值
3、演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) (蕴涵等值式) q(pq) (德摩根律) p(qq) (交换律,结合律) p0 (矛盾律) 0 (零律) 该式为矛盾式.,10,实例(续),(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) (蕴涵等值式) (pq)(pq) (交换律) 1 该式为重言式.,11,实例(续),(3) (pq)(pq)r) 解 (pq)(pq)r) (p(qq)r (分配律) p1r (排中律) pr (同一律) 非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的 成假赋值.,总结:A为矛盾式当且仅当A0; A为重言式当且仅当A1 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些,12,真值函数,定义2.12 称F:0,1n0,1为n元真值函数,n元真值函数共有 个 每一个命题公式对应于一个真值函数 每一个真值函数对应无穷多个命题公式,13,2元真值函数,14,联结词完备集,定义2.13 设S是一个联结词集合, 如果任何n(n1) 元真值 函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是 联结词完备集定理2.1 下述联
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