高考一轮复习课件：平面向量基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示,高三第一轮复习（第一课时）,(1)定义已知两个 向量a 和b，作 OA=a,OB=b， 则 AOB= 叫做向量a与b 的夹角(如图).,非零,考点分析,1.两个向量的夹角,(2)范围向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角 =_ ; a与b反向时,夹角= .,0°180°,0°,180°,90°,ab,不平行,(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 .,2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a = .其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj . 把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标. a=xi+yj a=(x,y),(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,设OA=xi+yj,则 就是终点A的 坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立 (O是坐标原点).,3.平面向量的坐标运算(1) 加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向 量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a= .,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,如右图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.,【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然 后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.,考点一 平面向量基本定理的应用,题型分析,【解析】设BM=e1,CN=e2, 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. A,P,M和B,P,N分别共线, 存在实数,使AP=AM=-e1-3e2, BP=BN=2e1+e2, 故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2 =3+=3, = . 故AP= AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理，得,解得,【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在此类问题中的应用.（3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.,对应演练,设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=OA+OB且+=1(,R).,证明:P点在AB上，AP与AB共线. AP=tAB(tR). OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1 (,R).,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.,【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解.,考点二 平面向量的坐标运算,【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n= 5 m=-1-3m+8n=-5, n=-1.,解得,【评析】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.,(3)CM=OM-OC=3c, OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). M(0,20).又CN=ON-OC=-2b, ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), N(9,2).MN=(9,-18).,对应演练,已知A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.,设D的坐标为(x,y). (1)若是ABCD,则由AB=DC得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),-1-x=-1-2-y=2, x=0,y=-4. D点的坐标为(0,-4)(如图中的D1).,(2)若是ADBC,则由AD=CB得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2), 即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4. D点坐标为(2,4)(如图中的D2). (3)若是ABDC,则由AB=CD得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0. D点的坐标为(-2,0)(如图中的D3). 综上所述,以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).,平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问题: (1)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.,【分析】 (1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及 |d-c|=1 得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.,考点三 平行(共线)向量的坐标运算,【解析】 (1)(a+kc)(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,k=- .,【评析】 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.,(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,x=4+ x=4- y=1+ y=1- . d=（ ）或（ ） .,解得,或,对应演练,已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,求实数x的值.,因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3). 又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x= .,1.要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向与大小的信息.2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或AP=-2PB.3.数学上的向量是自由向量,向量x=(a,b)经过平移后得到的向量的坐标仍是(a,b).,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,