高考一轮复习课件:平面向量基本定理及坐标表示
22页1、平面向量的基本定理及坐标表示,高三第一轮复习(第一课时),(1)定义已知两个 向量a 和b,作 OA=a,OB=b, 则 AOB= 叫做向量a与b 的夹角(如图).,非零,考点分析,1.两个向量的夹角,(2)范围向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角 =_ ; a与b反向时,夹角= .,0180,0,180,90,ab,不平行,(3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 .,2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平,面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a = .其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 .(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示,1e1+2e2,基底,互相垂直,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj . 把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标.
2、 a=xi+yj a=(x,y),(x,y),(x,y),(x,y),向量OA的坐标(x,y),x,y,设OA=xi+yj,则 就是终点A的 坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立 (O是坐标原点).,3.平面向量的坐标运算(1) 加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向 量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a= .,x1y2-x2y1=0,终点,始点,b,如右图,在ABC中,点M是边BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC.AM与BN相交于点P,求AP:PM的值.,【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出,然 后利用共线向量的条件列出方程组,从而确定参数的值.,考点一 平面向量基本定理的应用,题型分析,【解析】设BM=e1,CN=e2, 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. A,P,M和B,P,N分别共线, 存在实数,使AP=AM=-e1-3e2, BP=B
3、N=2e1+e2, 故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2 =3+=3, = . 故AP= AM,即AP:PM=4:1.,由基本定理,得,解得,【评析】(1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.(2)应注意平面几何中,平行线截线段成比例在此类问题中的应用.(3)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用,熟练掌握.,对应演练,设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:OP=OA+OB且+=1(,R).,证明:P点在AB上,AP与AB共线. AP=tAB(tR). OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令=1-t,=t,则有OP=OA+OB,+=1 (,R).,已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.,【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系
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