趣味数学 7.1.2三角形的高、中线与角平分线精选(上课用)

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线,你还记得 “过一点画已知 直线的垂线” 吗?,三角形的高,A,1、定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。,B,C,2、符号语言： （1）AD是 ABC的高； （2）ADBC，垂足为D； （3）点D在BC上，且ADC=ADB=90°.,D,3、逻辑推理： 如图, 线段AD是BC边上的高（已知）ADC=ADB=90°（或ADBC于D ）（高的定义）. 反之， ADBC于D（或ADC=ADB=90°）（已知），AD是 ABC中BC边上的高（高的定义） 4、高的画法：根据三角形高的定义，利用直角三角板作直角. 问：一个三角形有几条高？,直角三角形的三条高,在纸上画出一个直角三角形。,将你的结果与同伴进行交流.,A,B,C,(1) 画出直角三角形的三条高.,直角边BC边上的高是_;,AB,直角边AB边上的高是 ;,CB,(2)它们有怎样的位置关系？,D,斜边AC边上的高是_.,BD,直角三角形的三条高交于直角顶点，且其中有两条恰好是直角边， 一条在三角形内部。,锐角三角形的三条高,每人画一个锐角三角形。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?,(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？,将你的结果与同学进行交流.,锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?,A,B,C,D,E,F,锐角三角形的三条高交于一点.,且都在三角形的内部。,钝角三角形的三条高,(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？,(2)它们所在的直线交于一点吗？,将你的结果与同伴进行交流.,O,钝角三角形的三条高 不相交于一点.,但其三条高所在直线交于一点.,三角形的中线,1、定义：在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.,D,E,F,O,AD是 ABC的中线,2、逻辑推理：,反之，亦成立,小结:三角形的高,从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，,顶点和垂足之间的线段,叫做三角形这边上的高。,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线交于一点,三角形内部,直角顶点,三角形外部,三角形的角平分线,A,B,C,D,2、逻辑推理： AD是 ABC的角平分线,1、定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.,任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?,三角形的三条中线都在三角形内部，且相交于一点，交点在三角形的内部.,A,C,B,F,E,D,O,BE是ABC的角平分线,_=_= _,ACB=2_=2_,ABE,CBE,ABC,ACF,CF是ABC的角平分线,BCF,三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？,思考,三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.,角平分线的理解,任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?,三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点,交点在三角形的内部。,课堂练习,2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形,B,D,3.如图,在ABC中, 1=2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CFAD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.,A,B,C,D,E,1,2,F,G,H,AD是ABE的角平分线( ),BE是ABD边AD上的中线( ),BE是ABC边AC上的中线( ),CH是ACD边AD上的高( ),三角形的高、中线与角平分线都是线段,×,×,×,如图，AD是 ABC的中线，AE是 ACD的中线，已知DE=3，那么BE= ，BC= 。,A,B,C,D,E,如图，AD是 ABC的中线，如果用S1表示 ABD的面积，用S2表示 ACD的面积，那么S1与S2的大小关系是：,S1=S2,A,B,C,D,H,即：S1=S2,结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分,1、在ABC中，AD是BC边上的中线，如果AB=15，AC=12，那么 ABD的周长比 ACD的周长多 cm.,2、如图，AD，BE分别是 ABC中BC，AC边上的高，AD=5，BC=6，AC=10，则BE= 。,A,B,C,D,E,练习拓展,AF,CD,AC,3.填空：（1）如图1，AD，BE，CF是ABC的三条中线，则AB=2 ,BD= ,AE= 。,（2）如图2， AD，BE，CF是ABC的三条角平分线，则1= , 3= , ACB=2 。,2,ABC,4,拓展练习,CE,BC,CAD,BAC,AFC,4.填空：如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。 （1）BE= = ； （2）BAD= = ； （3）AFB= = 90°,拓展练习,5.如图1所示,在ABC中,ACB=90°,把ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B的位置,则线段AC具有性质( )A.是边BB上的中线 B.是边BB上的高C.是BAB的角平分线 D.以上三种性质合一,D,做一做,三角形具有稳定性， 四边形具有不稳定性,三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ，你能举出一些例子吗？,用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个 三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的 三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了. 在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.,四边形不具有稳定性，人们往往通过改造， 将其变成三角形从而增强其稳定性,四边形的不稳定性有广泛的应用,做一做：P74,这节课你学习了什么？,1、三角形的高的概念； 2、各种三角形的高的作法和位置异同点； 3、三角形的中线的概念、作法、位置； 4、三角形的角平分线的概念、作法、位置； 5、三角形的角平分线和角的平分线之间的区别。,