带电粒子在磁场中的临界极值问题

1带电粒子在磁场运动的临界与极值问题 考点解读考点解读 解解决此类问题的关键是：找准临界点找临界点的方法是：以题目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等词语为突破口，借助半径 R 和速度 v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切(2)当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(3)当速率 v 变化时，圆周角越大，运动时间越长典例剖析 1磁感应强度的极值问题 例 1 如图所示，一带正电的质子以速度 v0从 O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里 的匀强磁场已知两板之间距离为 d，板长为 d，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间 射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为 e，质量为 m)2偏角的极值问题 例 2 在真空中，半径 r3×102 m 的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强 度 B0.2 T，一个带正电的粒子以初速度 v01×106 m/s 从磁场边界上直径 ab 的一端 a 射入磁场，已知该粒子的比荷 1×108 C/kg，不计粒子重力qm (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时 v0与 ab 的夹角 及粒子的最大偏转 角23时间的极值问题 例 3 如图所示，M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一 最大值之间的各种数值静止的带电粒子带电荷量为q，质量为 m(不计重力)，从点 P 经 电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于 纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 45°，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当 M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，求： (1)两板间电压的最大值 Um； (2)CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 x； (3)粒子在磁场中运动的最长时间 tm.4面积的极值问题 例 4 如图 12 所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上 的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从 x 轴上的b点以垂直于Ox轴的速 度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场 仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。3带电粒子在磁场运动的临界与极值反馈训练1. 一个质子和一个 粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀 强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图 1 所示， 则它们在磁场中 ( ) A运动的时间相等 B加速度的大小相等 C速度的大小相等 D动能的大小相等 2. 如图 3 所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相 同的正、负粒子(不计重力)，从A点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成 角，则正、负粒子在磁场中( ) A运动时间相同 B运动轨迹的半径相同 C重新回到边界时速度大小和方向相同 D重新回到边界时与A点的距离相等 3如图 4 所示，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，不计重 力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域，沿曲线 abcd运动，ab、bc、cd都是半径为R的圆弧粒子在每段圆 弧 上运动的时间都为t.规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为 正，则磁场区域、三部分的磁感应强度B随x变化的 关系可能是图中的 ( )4. 如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒 子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则 ( ) A从P射出的粒子速度大 B从Q射出的粒子速度大 C从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D两粒子在磁场中运动的时间一样长5如图所示，宽 l=1cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度 的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从 O 点以相同的速率沿纸面不同方 向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为 r=5cm，则 （ ） A右边界：-3cmy3cm 有粒子射出 B右边界：y3cm 和 y-3cm 有粒子射出 C左边界：y6cm 有粒子射出 D左边界：0y6cm 有粒子射出46.如图，在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向里许多质量为 m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O 射人磁场区域不计重力，不计粒子间的相互影响下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中 R=mv/qB哪个图是正确的( )7.如图所示，相互平行的直线 M、N、P、Q 间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由 O 点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与 OM 间夹角的范围为 0<<90º，不计粒子的重力，则( ) A. 越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短 B. 越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长 C. 越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到 MN 的距离一定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与 无关8如图 12 所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场已知AOC60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( )A. B. C. D.T 3T 4T 6T 89. 不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成 30°角的速度v0从y轴上 的a点射入图 9 中第一象限所在区域为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成 60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场， 若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积ABCD图 12510.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的 匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角 = 30°、大 小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重 力不计，求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围. （2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.11如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B10.40 T，方向垂直纸面向里，电场强度E2.0×105 V/m，PQ为板间中线紧靠平行板右侧边缘xOy坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B20.25 T，磁场边界AO和y轴的夹角AOy45°.一束带电荷量q8.0×1019 C的正离子从P点射入平行板间，沿中线PQ做直线运动，穿出平行板后从y轴上坐标为(0,0.2 m)的Q点垂直y轴射入磁场区，离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向夹角在 45°90°之间则： (1)离子运动的速度为多大？ (2)离子的质量应在什么范围内？ (3)现只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到x轴上，磁感应强度大 小B2应满足什么条件？××××××××××××abcdOv0612.如图所示，M、N 为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距为 D，其右侧有一边 长为 2a 的正三角形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，在极板 M、N 之间加上电压 U 后，M 板电势高于 N 板电势现有一带正电的粒子，质量为 m，电荷量为 q，其重力和 初速度均忽略不计，粒子从极板 M 的中央小孔 s1处射入电容器，穿过小孔 s2后从距三角形 A 点 的 P 处垂直 AB 方向进入磁场，试求：a3（1）粒子到达小孔 s2时的速度和从小孔 s1运动到 s2所用的时间； （2）若粒子从 P 点进入磁场后经时间 t 从 AP 间离开磁场，求粒子的运动半径和磁感应强 度的大小； （3）若粒子能从 AC 间离开磁场，磁感应强度应满足什么条件7带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面1带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解如图 5 所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为 a，若带负电，其轨迹为 b.2磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解如图 6 所示，带正电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场，若 B 垂直纸面向里，其轨迹为 a，若 B 垂直纸面向外，其轨迹为 b.图 5 图 6 图 7 图 83临界状态不惟一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它 可能穿过去了，也可能转过 180°从入射面边界反向飞出，如图 7 所示，于是形成了多解 4运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解如图 8 所示典例剖析 1带电粒子性质的不确定形成多解 例 1 如图所示，直线边界 MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B， 磁场区域足够大今有一质量为 m，带电荷量为 q 的带电粒子，从边界 MN 上某点垂直磁 场方向射入，射入时的速度大小为 v，方向与边界 MN 的夹角为 ，求带电粒子在磁场中的 运动时间82磁场方向不确定形成多解 例 2 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动， 磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3 倍若电子电 荷量为 e、质量为 m，磁感应强度为 B，不计重力，则电子运动的角速度可能是 ( )A. B. C. D.4Bem3Bem2BemBem3运动方向不确定形成多解 例 3 如图所示，绝缘摆线长为 L，摆球带正电(电荷量为 q，质量为 m)悬于 O 点，当 它在磁感应强度为 B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点 C 时速率为 v，则摆线的拉力为多 大？4运动的往复性形成多解 例 4 如图 11 所示，在 NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在 MOQ 范围 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，M、O、N 在一条直线上，MOQ60°，这两个区域 磁场的磁感应强度大小均为 B.离子源中的离子带电荷量为q，质量为 m，通过小孔 O1进 入两板间电压为 U 的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔 O2射出， 再从 O 点进入磁场区域，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界 MN，不计离子的重力 (1)若加速电场两板间电压 UU0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径 R0； (2)在 OQ 上有一点 P，P 点到 O 点距离为 L，若离子能通过 P 点，求加速电压 U 和从 O 点到 P 点的运动时间