高等数学(b2)期末模拟试卷(一)及答案
1高等数学（B2）期末模拟试卷（一）二三题号一 1 12 23 34 4四五六七总 分得分一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1. ，其定义域为-（A）.) 1ln( 412222 yx yxzA B 41),(22yxyx41),(22yxyxC D .41),(22yxyx41),(22yxyx2. 设，则-（D）.yxz dzA B dyyxxdxxyy1lndyxdxyxyy1C D .xdyxxdxyxyylnln1xdyxdxyxyyln13. 由椭圆绕轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为-（ C ）.1162522 yxyA B C D .5202y dx5204y dx4202x dy4204x dy4. 设，则为-（A）.)3, 2, 1 (a)4, 3, 2(b)2, 1, 1 (c.)(cbaA B C D .51155. 设，则与直的关系为-（ A）.05432:zyx41 321:zyxLLA 与垂直 B 与斜交 C 与平行 D 落于内.LLLL6. 若，,为上4, 2),(yxyxD40 , 20),(1yxyxD)(22yxfD的连续函数，则可化为-（C）.dyxfD)(22A B dyxfD)(122dyxfD)(2122C D .dyxfD)(4122dyxfD)(81227. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解-（ C）.2A B xecxyxecyxc2 1C D .xcecyx 21)(21xexccy8. 下列哪个级数收敛-（D）.A B C D .1) 1(nn11001nn1100nnn1100100nn9. 若，其中，则正数-（ B）.Dd4axyaxD0,0:aA B C D .32 2234 223 210. 若幂级数在处条件收敛，则其收敛半径为-（ B）.1) 1(nn nxa3xA B C D .1234 二、计算题（本大题共 4 小题，每题 7，共 28）:1. 设具有二阶连续偏导数，若，求),(vufz )cos,(sinyxfz .,2yxz xz 解： ,cos1xfxz yxz2 .cossin)sin(cos)(1212xfyyxfxz y 2. 设，求 :.)sin(22yxz Dzdxdy.D22224yx解：= Dzdxdy)4cos(cos223. 设曲线， 与直线及轴所围成的区域为，求的面积.xey2) 1ln( xy1xyDD解的面积=.D2ln2) 1(212e4. 解微分方程.2xexydxdyx解：xxeyxdxdy1xxexQxxP)(,1)(， xdxxPln)(xxxdxxPedxexedxexQln)()(故通解为)(Cexyx三三、计算题（本题 9）设， （1）改变积分次序； 2 02sinyydxxxdyI3（2）计算的值.I解：2 02sinyydxxxdyI21)2(sinsin2 022 022dxxxxxdyxxdxxx四、证明题（本题 8）求证：曲面上任何点处的切平面在各坐标azyx轴上的截距之和等于.a解：设切点为（解：设切点为（）且设）且设，000,zyx),(zyxFazyx则切平面方程为：)(2100xxx)(2100yyy0)(2100 zzz令令可得：可得：切平面在轴上的截距为0 zyxaxzxyxx000000同理可得：同理可得：切平面在轴上的截距分别为zy,00azay因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于。aazayax000五、计算题（本题 8）求的收敛域及和函数.11( 1)n nnx n解：解：x xnxnnnnnn 11)1(111) 1(1)1 () 1(lim故故的收敛半径为 112) 1(121nxnnn易知当时，收敛；当时，发散1x1) 1(11nxnnn1x1) 1(11nxnnn因此在收敛。1) 1(11nxnnn 1 , 1(六、计算题（本题 8）设是第一象限内连接 A，B的一段连续曲线，)(xfy ) 1 , 0()0 , 1 (为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在轴上的投影，O 为坐标原点.若梯形 OCMA),(yxMx4的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为，求的表达式.31 63 x)(xf解：解：1331 6) 1(2xxydxyx111 22) 1(2122 Cxxyxxyxyxyyxy由，故 20) 1 (Cy2) 1()( xxf七、应用题（本题 9）设生产某种产品必须投入两种要素, 和分别为两种要素的1x2x投入量,产出量为 , 若两种要素的价格之比为 ,试问: 当产出量3223112xxQ 421pp时, 两种要素的投入量各为多少，可以使得投入总费用最小？12Q21, xx解解:该题为求费用函数 在条件下的最小值问题.221121),(xpxpxxC122322311xx为此作拉格朗日函数 )212(),(3223112211xxxpxpxxL令 1220340323223113123112322321121xxxxpLxxpLxx122832231112xxxx，即两种要素各投入 3,24 可使得投入总费用最小. 24321 xx
