高考导数的应用试题以及解析(文数)

【考纲下载】,1. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3会利用导数解决某些实际问题.,第12讲 导数的应用,设函数yf(x)在某个区间内可导，则 (1)f(x)>0f(x)为 ； (2)f(x)0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增 (减)函数的充分条件，而不是必要条件，如果出现个别点使 f(x)0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性,增函数,减函数,常函数,1函数的单调性,1(2009·湖南卷)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是( ),解析：由 在 上是增函数，知函数 的图象上点的切线斜率随 D 的增大而增大， B 选项中，切线斜率递减，C选项切线斜率不变， 选项切线斜率先增加后减小，只有 A 选项符合题意，故选 A项 答案：A,2函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是( ) A2 B0 C2 D4解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0，x2(舍去)比较f(1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)maxf(0)2.答案：C,3函数f(x)x3x23xa的极值个数是( )A2 B1C0 D与a值有关解析：f(x)3x26x3，令f(x)0可得x1，而当x1时，f(x)>0，所以函数f(x)没有极值答案：C,4(2009·江苏卷)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：f(x)3x230x333(x210x11)3(x1)(x11)<0，解得：1<x<11，故减区间为(1，11)答案：(1,11),1.求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)>0或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数,2已知函数单调性，求参数范围设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)在(a，b)内是增函数，则可得f(x)0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f(x)在(a，b)内是减函数，则可得f(x)0.,(1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围 思维点拨：(1)通过解f(x)0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a. 解：(1)f(x)exax1，f(x)exa. 令f(x)0得exa， 当a0时，有f(x)0在R上恒成立； 当a0时，有xln a. 综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)； 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，),【例1】 已知f(x)exax1.,(2)f(x)exax1，f(x)exa. f(x)在R上单调递增， f(x)exa0恒成立， 即aex，xR恒成立 xR时，ex(0，)，a0.,(1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)设函数f(x)在区间 内是减函数，求a的取值范围 解：(1)f(x)x3ax2x1， 求导：f(x)3x22ax1， 当0，即a23时，f(x)0，f(x)在R上单调递增，,变式1：已知函数f(x)x3ax2x1，aR.,当>0，即a2>3时， 令f(x)0求得两根为x 即f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增,(2)若函数在区间 内是减函数，则说明f(x)3x22ax10两根在区间 外，由此f 0，且f 0，由此可以解得a2.因此a的取值范围是2，).,区间端点的函数值不是函数的极值，函数的极大值不一定比极小值大求极值分三个步骤：求导数f(x)；求f(x)0的根x0；在x0的两侧附近，f(x)左正右负时，f(x0)为极大值，f(x)左负右正时，f(x0)为极小值，f(x)左右同号时，f(x0)不是极值,【例2】 (2009·天津卷)设函数f(x) x3x2(m21)x(xR)， 其中m0. (1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值 思维点拨：(1)求f(x)，再求f(1)； (2)求f(x)，令f(x)0，求x，再列出f(x)，f(x)的变化 情况表，即可写出单调区间与极值,解：(1)当m1时，f(x) x3x2，f(x)x22x，故f(1)1. 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1. (2)f(x)x22xm21. 令f(x)0，解得x1m，或x1m. 因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，1m)，(1m，)上是减函数，在 (1m，1m)上是增函数 函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)， 且f(1m) m3m2 . 函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)， 且f(1m) m3m2 .,变式2：设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点， 并求相应极值,解：(1)f(x) 2bx1， 由已知得： ， .,(2)x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：,在x1处函数f(x)取得极小值 ；在x2处，函数f(x)取得极大 值 ln 2.,1. 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,【例3】 已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线 方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值,解：(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0. 又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切 线方程为3xy20.,(2)令 f(x)0，解得x10，x2 . 当 0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a. 当 2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0. 当0< <2，即0a3时，f(x)在 上单调递减，在 上单 调递增，从而f(x)max 综上所述，f(x)max,利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x) 2求函数的导数f(x)解方程f(x)0. 3比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值,相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工 程费用为(2 )x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 思维点拨：对(1)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)， 先利用导数求出最优解,【例4】 (2009·湖南卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩,解：(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n 1，所以yf(x)256n (n1)(2 )x256 (2 )x mm 2m256.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数 所以f(x)在x64处取得最小值 此时n 1 19. 故需新建9个桥墩才能使y最小.,【方法规律】,1注意判断单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想 2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小 3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,【高考真题】,(2009·广东卷)已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得最小值m1(m0)设函数f(x) .(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 ，求m的值(2)k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点,【规范解答】,解：设二次函数为g(x)ax2bxc，yg(x)2axb的图象与直线y2x平行，a1.又yg(x)在x1处取得极小值m1，,g(1)a(1)2b(1)cm1，所以b2，cm，从而,(1)已知m0，设曲线yf(x)上点P的坐标为P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ|,当且仅当,时等号成立|PQ|的最小值为,当m 0时，解得,当 0时，解得,(2)yf(x) 的零点即方程,的解，m0，,若 k 1，(k 1)x22xm0,所以函数yf(x) 有零点,由相同的解,若k1，(k1)x22xm0的判别式41m(k1) 若,此时函数yf(x)kx没有零点,【命题探究】,本题主要考查函数与方程的极值问题、最值问题、零点问题，涉及到数形结合、分类讨论、等价转化、待定系数法、解方程组等数学思想方法 本题属于难题，综合了不同模块的知识与方法解答这类压轴题目时，首先要仔细阅读条件，阅读过程中会有一些初步想法，或者可以直接计算出一些结果，这对解决整个问题可能会有作用然后可以想，有没有见过类似的问题？或者题目中的部分问题有没有见过？能不能画个图？(这点很关键)阅读完题目后，能不能用自己的话再叙述一遍？这些就是解决问题的思维过程,