2019届高考数学（文科）五三课件10.1《椭圆及其性质》

§10.1 椭圆及其性质,高考文数 ( 课标专用),1.(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C: + =1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,A组 统一命题·课标卷题组,五年高考,答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 , e= = = ,故选C.,方法总结 求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e= 求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.,2.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2 F1=60°,则C的离心率为 ( ) A.1- B.2- C. D. -1,答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60°,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|= c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 c+c=2a, 所以椭圆的离心率e= = = -1.故选D.,疑难突破 利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是 难点的突破口.,3.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足 AMB=120°,则m的取值范围是 ( ) A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+),答案 A 本题考查圆锥曲线的几何性质. 当0<m<3时,椭圆C的焦点在x轴上,如图(1),A(- ,0),B( ,0).图(1),4.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意可得a= ,故a2=3b2, 又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2), 所以 = , 所以e= = .,方法总结 求离心率问题的实质就是找出a、b、c之间的关系,再利用a2=b2+c2(椭圆)或c2=a2+b2(双曲线),转化为a、c间的关系.,5.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短 轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ,所以e= = .故 选B.,一题多解 设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),由题意可取直线l的方程为y= x+b,椭圆 中心到l的距离为 ,由题意知 = ×2b,即 = ,故离心率e= .,易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 ×2b= ,容易将短轴长误认为b.,6.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别 为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若 直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= , 从而直线AM的方程为y= (x+a), 令x=0,得点E的纵坐标yE= . 同理,OE的中点N的纵坐标yN= . 因为2yN=yE,所以 = , 即2a-2c=a+c, 所以e= = .故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴, = = ,= = ,又 = , 即 = , a=3c,故e= = .,思路分析 解法一:设出点M的坐标及OE的中点为N,写出AM的方程,然后求出yE与yN,利用2yN= yE求出 . 解法二:由PFy轴得对应线段成比例,结合|OE|=2|ON|可求出 .,7.(2015课标,5,5分,0.693)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2 =8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2. 从而椭圆E的半焦距c=2. 可设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0), 因为离心率e= = ,所以a=4, 所以b2=a2-c2=12. 由题意知|AB|= =2× =6.故选B.,8.(2014课标,20,12分,0.083)设F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点 且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,解析 (1)根据c= 及题设知M ,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得 = 或 =-2(舍去). 故C的离心率为 . (2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中 点, 故 =4,即b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.,B组 自主命题·省(区、市)卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.9,答案 B 依题意有25-m2=16,m>0,m=3.选B.,2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点 分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .,评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF1、PF2利用椭圆的定义 是求解的关键.,3.(2018天津,19,14分)设椭圆 + =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|= . (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若 BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.,解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有 = ,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|= = ,从而a=3, b=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得 到关于k的方程是求解的难点和关键.,4.(2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a> )的右焦点为F,右顶点为A.已知 + = , 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若 BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.,解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设直线l的斜率为k(k0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),由方程组 消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x= ,由题意得xB= ,从而yB= . 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有 =(-1,yH), = . 由BFHF,得 · =0,所以 + =0,解得yH= . 因此直线MH的方程为y=- x+ .,设M(xM,yM),由方程组 消去y, 解得xM= . 在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+ = + ,化简得xM=1,即 =1,解 得k=- ,或k= . 所以,直线l的斜率为- 或 .,考点二 椭圆的性质 1.(2017浙江,2,5分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B.,2.(2015福建,11,5分)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x- 4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值 范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不 妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ,即b1.所以e2= = = ,又0<e<1,所以e ,故选A.,评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于 原点对称,从而得出|AF|+|BF|=2a.,3.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析 (1)设椭圆C的方程为 + =1(a>b>0). 由题意得 解得c= . 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m±2,且n0. 直线AM的斜率kAM= ,故直线DE的斜率kDE=- . 所以直线DE的方程为y=- (x-m).直线BN的方程为y= (x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=- . 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=- n. 又SBDE= |BD|·|yE|= |BD|·|n|, SBDN= |BD|·|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,4.(2017天津,20,14分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线 PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= . 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为 . 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y= ,即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有 + = ,整理得3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 . (ii)由a=2c,可得b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y, 整理得7x2+6cx-13c2=0,