2019届高考数学（文科新课标b）一轮复习课件：4.4三角函数的最值与综合应用（共38张）

§4.4 三角函数的最值与综合应用,高考文数 (课标专用),1.(2016课标全国,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos 的最大值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,五年高考,A组 统一命题·课标卷题组,答案 B f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 + ,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.,思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos 转化为关于sin x的二次 函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x-1,1.,评析 本题考查三角恒等变换及三角函数的最值,将f(x)转化为关于sin x的二次函数是解题关 键,注意不要忘记 sin x的范围.,2.(2017课标全国,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的最值. 由题意可知f(x)=2cos x+sin x= sin(x+)(tan =2), f(x)的最大值为 .,3.(2014大纲全国,14,5分)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 .,答案,解析 y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x =-2 + , 因为-1sin x1, 所以当sin x= 时,ymax= .,1.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .,B组 自主命题·省（区、市）卷题组,答案 8,解析 由y=3sin +k可知,ymin=-3+k,所以-3+k=2,即k=5,所以ymax=3+k=8.,2.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,最小值是 .,答案 ;,解析 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 = (1-cos 2x)+ sin 2x+1 = (sin 2x-cos 2x)+ = sin + , 最小正周期T= =, f(x)min= .,3.(2015湖南,15,5分)已知>0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最短的两个交 点的距离为2 ,则= .,答案,解析 由 消去y,得sin x-cos x=0, 即 sin =0,解得x= + ,kZ. 取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为 , ,又两交点的距离为2 , 所以 +( + )2=(2 )2,解得= .,4.(2013江西,13,5分)设f(x)= sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|a,则实数a的取值范围是.,答案 2,+),解析 由辅助角公式得f(x)=2 sin 3x+ cos 3x =2sin . 由a|f(x)|恒成立得a|f(x)|max, 而|f(x)|= 2sin 2, a2.,评析 本题考查了利用辅助角公式化简,考查了恒成立问题,准确将其转化为求最值问题是关 键.,5.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=- . 又x0,所以x= . (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = ,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .,6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sin x-2 sin2 . (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间 上的最小值.,解析 (1)因为f(x)=sin x+ cos x- =2sin - , 所以f(x)的最小正周期为2. (2)因为0x ,所以 x+ . 当x+ =,即x= 时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间 上的最小值为f =- .,7.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)= sin 2x- cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x 时,求g(x)的值域.,解析 (1)f(x)= sin 2x- cos2x = sin 2x- (1+cos 2x) = sin 2x- cos 2x- =sin - , 因此f(x)的最小正周期为,最小值为- . (2)由条件可知:g(x)=sin - . 当x 时,有x- ,从而sin ,那么sin - . 故g(x)在区间 上的值域是 .,8.(2013辽宁,17,12分)设向量a=( sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x . (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.,解析 (1)由|a|2=( sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1. 又x ,从而sin x= ,所以x= . (6分) (2)f(x)=a·b= sin x·cos x+sin2x = sin 2x- cos 2x+ =sin + , 当x= 时,sin 取最大值1. 所以f(x)的最大值为 . (12分),1.(2015福建,21,12分)已知函数f(x)=10 sin cos +10cos2 . (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)的图 象,且函数g(x)的最大值为2. (i)求函数g(x)的解析式; (ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.,C组 教师专用题组,解析 (1)因为f(x)=10 sin cos +10cos2 =5 sin x+5cos x+5=10sin +5, 所以函数f(x)的最小正周期T=2. (2)(i)将f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到y=10sin x+5的图象,再向下平移a(a>0)个单位长 度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象. 又已知函数g(x)的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=13. 所以g(x)=10sin x-8. (ii)证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0,就是要证明存在无穷多个互不 相同的正整数x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0> . 由 . 因为y=sin x的周期为2,所以当x(2k+0,2k+-0)(kZ)时,均有sin x> . 因为对任意的整数k,(2k+-0)-(2k+0)=-20> >1, 所以对任意的正整数k,都存在正整数xk(2k+0,2k+-0),使得sin xk> . 亦即,存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)>0.,评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、 抽象概括能力、推理论证能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无 限思想.,2.(2014北京,16,13分)函数f(x)=3sin 的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值; (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)f(x)的最小正周期为. x0= ,y0=3. (2)因为x ,所以2x+ . 于是,当2x+ =0,即x=- 时, f(x)取得最大值0; 当2x+ =- ,即x=- 时, f(x)取得最小值-3.,评析 本题主要考查函数y=Asin(x+)的图象和性质,熟练掌握三角函数的图象是解题的关键, 属基础题.,3.(2013安徽,16,12分)设函数f(x)=sin x+sin . (1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合; (2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.,解析 (1)因为f(x)=sin x+ sin x+ cos x = sin x+ cos x= sin , 所以当x+ =2k- (kZ),即x=2k- (kZ)时, f(x)取最小值- . 此时x的取值集合为 . (2)先将y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍(横坐标不变),得y= sin x的图象; 再将y= sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得y=f(x)的图象.,评析 本题考查三角函数的恒等变换,三角函数的性质与三角函数的图象变换,考查了学生的逻 辑推理和运算能力.正确化简函数f(x)的解析式是解题的关键.,4.(2013陕西,17,12分)已知向量a= ,b=( sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,解析 f(x)= ·( sin x,cos 2x) = cos xsin x- cos 2x = sin 2x- cos 2x =cos sin 2x-sin cos 2x =sin . (1)f(x)的最小正周期T= = =, 即函数f(x)的最小正周期为. (2)0x , - 2x- . 当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值1. 当2x- =- ,即x=0时, f(0)=- ,当2x- = ,即x= 时, f = , f(x)的最小值为- . 因此, f(x)在 上的最大值是1,最小值是- .,评析 本题从向量数量积的坐标运算出发,重点考查了三角恒等变换,以及三角函数的性质.对 考生的运算求解能力有较高的要求.,答案 C 依题意可知 + 表示两点(x1,y1)、(x2,y2)的距离的平方,由函数y=sin 2x与 函数y=3的图象可知,最小距离为2,故 + 的最小值为4,故选C.,2.(2016河北名校3月联考,8)若函数f(x)=2sin (0),且f(2+x)=f(2-x),则|的最小值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意知,函数f(x)=2sin (0)的图象关于直线x=2对称,2- = +k,k Z,= + ,kZ,|min= .,3.(2016安徽六安一中综合训练,4)已知函数f(x)=sin2x+ sin xsin (>0)的最小正周期 为,则f(x)在区间 上的值域为 ( ) A. B. C. D.,答案 A f(x)=sin2x+ sin xsin =sin2x+ sin xcos x= + sin 2x= sin 2x- cos 2x+ =sin + , 因为T= = =,所以=1,即f(x)=sin + ,当x 时,2x- ,所以sin ,故所求值域为 ,选A.,4.(2016辽宁东北育才学校五模,6)已知x0= 是函数f(x)=sin(2x+)的一个极大值点,则f(x)的一个 单调递减区间是 ( ) A. B. C. D.,