弹性力学与有限元教学课件第4.1章 杆系结构有限元法

4.1 杆系结构有限元法杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大的 多时，这类结构称为杆件。工程中常见的轴、柱 、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。杆系结构是在节点处通过铰接、铆接、焊接 或用其他方法把若干个杆件连接起来组成一个能 共同承担外部载荷的结构。4-1 引 言杆系结构可分为桁架和刚架两种。有限元法对杆系结构离散，通常采用自然离散的形式，也就是把等截 面的杆件作为单元。当单元的两端为铰接，杆件内力只有轴力存在，“杆单元”“桁架” 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。当单元两端可以承受弯矩和剪力作用时称为 “梁单元”“刚架” 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散 。挖掘机桥梁鸟巢空间立体网架鸟巢的有限元 模型工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。弹弹簧弹弹性力F与弹弹簧伸长长量 （位移）之间间关 系由胡克定律有式中k为弹为弹 簧的刚刚度，是弹弹簧的固有参数。它对应对应 于 力位移图图中F- 关系直线线的斜率。 当k和F已知时时，可由下式求出弹弹簧伸长长量弹簧力位移间关系(4-1)当处处理比较较复杂杂的铰铰接杆系统时统时 ，要确定系统统在力F的作用下，节节点B 、C、D和E处处的变变形，以便计计算各杆件的内应应力及各杆所受的轴轴向力， 可假设设整个杆件系统统也具有像式(4-1)中k值值一样样的刚刚度，这样这样 在力F的作 用下各点的位移就可以用类类似式(4-1)的公式计计算了。不过过，这时这时 的系统统 刚刚度应应采用一个矩阵阵来表示，即 ，同理，各点的位移也应应采用一个 矩阵阵来表示，即 ，再加上矩阵阵 ，就构成了称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。Fku1,F1u2,F2弹簧的作用力矢量为位移矢量为从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。为求出它们，将图示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。一、单个弹簧的刚度矩阵4-2 弹簧系统的刚度矩阵由力的平衡有ku1F1aF2aA A(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2B B (b) ku1F1u2F2A AB B1)只有节点1可以变形，点2固定2)只有节点2可以变形，点1固定3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1) 、2)两种情况，就得到与原始问题一样的结构，如图(c)，叠加结果为：(c)作用于节点1上的合力作用于节点2上的合力刚度矩阵对称、奇异矩阵（45）（46）二、组合弹簧的刚度矩阵kakbu1,F1u2,F2 u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu20u30F1bkakbu2,F2bF3bu10u30F1ckakbF2cu3,F3cu10u20(a)(b)(c)1) 只允许节点1有位移u1，力F1a与位移u1之间的关系由于u2 u30，没有力作用于节点3，因此考虑弹簧1-2，由静力平衡条件有2) 只允许节点2有位移u2，这时由于位移的连续性，每个 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与 弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2，对弹簧2- 3 有压力kbu2分别对两弹簧求静力平衡，有3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有由于节点1、2无位移，有组合弹簧的刚度矩阵4) 合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个 方向的位移。因此方程应有如下形式：利用线弹性系统的叠加原理，找出3×3阶刚度矩阵各元素 的表达式节点1处的合力 节点2处的合力节点3处的合力对称、奇异矩阵（48）知道单个弹簧单元的刚度矩阵，可直接叠加出总刚度矩阵。对单个弹簧来说有2个节点，刚度方程为2阶：整个系统有3个节点（位移），将上述方程扩大成3阶方程，按矩阵相加原理将两式叠加，（49）矩阵扩大叠加办法按节节点号将相应单应单 元的刚刚度矩阵阵中元素kij写到总刚总刚 度矩阵阵中的办办法来叠加。以上面两个弹簧系统为例，系统共三个节点，每个节点有一个自由度，因此，该系 统总刚度矩阵应该是3×3阶的矩阵。第1个单元的节点号为1和2，则单元刚度矩阵中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上三、方程求解（约束条件的引入）由式（46）和式（48）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（47）和式（49）无定解。 物理解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在任何 外力的作用下系统会发生刚体运动。u1u2 u3u, 且u没有定值，所以方程无定解。 为使方程组有定解，只需给系统加上一定的约束（称为约束条件或边界条件）。例如：两弹簧系统，节点1固定不动，有u10，则式（49）成为从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。弹簧1-2受力 paka×（弹簧12长度的变化量）paka×（u2-u1） 有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤：形成每个单元的刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成整体系统的刚度矩阵引入约束条件以节点位移为未知量求解线性代数方程组用每个单元的力位移关系求得单元力。4-3 平面桁架系统有限元法一、杆单元分析1、局部坐标系下杆单元刚度矩阵上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用来求解受轴向力的杆件系统。均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得：均质等截面铰支杆的力位移方程可写为2、坐标变换、整体坐标系下的单元刚度矩阵为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标系（即总 体坐标系）中建立平衡方程。由于桁架各单元的空间位置不同，各 个单元的局部坐标系一般也不相同。实际杆件系统都是由互相成一定角度排列的杆件连接在一起的。每个杆件的单元坐标系统所有杆件的都适用的整体坐标系统12对应局部坐标，x，y对应整体坐标系统对应局部坐标系的位移和作用力，对应整体坐标系的位移和作用力。注意：(1)图中 角是从整体坐标系x 轴正向起算逆时针转到杆件方向 。 （2）铰支连接的杆中能承受轴向力 和产生轴向位移 ,因此局部 坐标系下 ， 。方便矩阵运算，将力和位移的矩阵用四阶方程表示：将上式从局部坐标系转换到整体坐标系，表示为：类似地可写出节点2处的表达式。（412）令 ， ，则节点力的变换关系为（413）或称为坐标变换矩阵。与力的坐标变换式类似，斜杆在两节点的位移有同样的坐标变换式（414）利用式（413）和式（414）可以把局部坐标系下方程（412）表示成 整体坐标系下的方程。整体坐标系下单元的刚度矩阵。用 左乘上式两边（415）再将式（414）代入式（415），有单元刚度矩阵 在整体坐标系下的表达式可以用局部坐标系下的表 达式求出：（416）将式（413）代入式（412）有有（414）二、整体（平面桁架）分析求解整体坐标系下结构受力与位移关系的方程组可得到各节点的位移。从而可求出每根杆的受力。i，j整体坐标系中任一杆单元的两个节点号。（417）（418）有限元方法求解平面桁架结构问题的基本步骤：形成局部坐标系下每个单元的刚度矩阵由坐标变化矩阵，获得整体坐标系下单元刚度矩阵各个单元的刚度矩阵按节点号叠加成系统的总体刚度矩阵引入约束条件以节点位移为未知量求解线性代数方程组用每个单元的力位移关系求得单元力。例题例4-1：平面三杆桁架如下图所示，节点1、节点3处固定，节点2处受 力Fx2 、Fy2，所有杆件材料相同，弹性模量为E，截面积均为A，求各杆受力。（单元3和1之间夹角为45°）yxFx21231 Fy2单元 0°01单元 90°01单元 135°将它们代入（417），得到单元 单元 单元 这里e1表示 单元 （具有节点1，2）. ，将实际值代入，总刚度矩阵为整个系统有6个自由度，整体刚度矩阵是6×6阶的。将上述单 元刚阵按节点号叠加到 6×6阶矩阵中，就得到整体刚度矩阵。将u2，v2代入原方程，则其它力可表示为只有u2，v2需要求解，因此上述方程可简化为最后各杆所受到的力，由式（4-18）可求出4-4 平面刚架有限元法*各杆间是刚性固结的，当刚架结构受外力作用时，杆件 内不仅有轴力，还有剪力和弯矩，称这类杆件为梁。1 、直接刚度法推导梁单元有限元格式L12平面刚架结构梁单元材料力学或结构力学：梁所受弯矩与变形之间的关系，列方程由静力平衡，列方程以上两式写成矩阵形式即为局部坐标系下梁单元刚度矩阵。扩展后的局部坐标系下的梁单元6×6刚度矩阵局部坐标到整体坐标的变换矩阵其中，单元刚度矩阵在整体坐标系下的形式为有限元法基本求解步骤： 1、力学条件建立单元受力和位移之间的关系式 2、局部坐标系下的单元刚度矩阵 3、整体坐标系下的单元刚度矩阵 4、单元刚度叠加，构成总体刚度矩阵 5、引入边界条件，求线性方程 6、得到系统各节点处的位移 7、进而得到每根梁所受节点力和力矩2 、 位移函数虚功原理推导梁单元有限元计算格式第一步： 写出单元的位移、节点力向量 局部坐标系下，节点1的位移向量和力向量对节点2也类似，从而梁1-2的节点位移和节点力向量为这些向量每个包含4项，因此单元刚度矩阵 应该是4×4阶的。第二步： 选择适当的位移函数 选择一个简单函数，用节点上的位移来表示单元上各点的位移。 这一位移函数 一般情况下可选择多项式。 多项式的系数个数应与单元自由度数目相同，使各点的位移可以用 节点处的位移所唯一确定。整个单元具有四个自由度，而且只与x坐标有关，由于(3-7)(3-8)对于梁单元，设位移函数写成写成矩阵形式，有x=L处对梁单元，x=0处，第三步：求单元中任一点的位移与节点位移的关系将梁单元两个节点处，对应的位移代入到(3-7)、 (3-8)式中，(3-10)求解方程式（310）得从而单元上任一点的位移 可用节点位移 表示：第四步： 求单元应变-单元位移-节点位移间的关系 单元内任一点的应变可以通过对该点处的位移微分得到。将 代入，写成矩阵形式几何矩阵第五步： 求应力-应变-节点位移间的关系(弹性力学物理方程)弹性矩阵对于梁的弯曲问题，由材料力学知识可知，应力-应变相当于内力矩与曲率关系， 近似表达式为：第六步： 求节点力与节点位移关系 虚功原理：系统保持平衡的充要条件是外力在虚位移上所做的功等于 内力在相应虚位移上所做的功。系统各节点虚位移向量节点外力在虚位移上所做的虚功任一点处虚位移引起的虚应变为，该处应力为内应力所做的功（单位体积上的应变能）为：虚位移引起的虚应变同样成立，虚功原理，整个体积上功的平衡有：其中，节点虚位移和节点位移都与积分无关其中，单元刚度矩阵的表达式：具体到梁单元，积分区域是一维的，且从x0L单元刚度矩阵的表达式：第七步：求节点位移与应力关系1、单元节点位移和节点力列阵的坐标变换任意平面向量V（如平面梁单元的节点位移或节点力列向量），在总体 坐标系xoy中的分量为Vx和Vy，ox轴沿逆时针方