弹性力学与有限元教学课件第4.1章 杆系结构有限元法
44页1、4.1 杆系结构有限元法杆系结构定义:当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大的 多时,这类结构称为杆件。工程中常见的轴、柱 、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。杆系结构是在节点处通过铰接、铆接、焊接 或用其他方法把若干个杆件连接起来组成一个能 共同承担外部载荷的结构。4-1 引 言杆系结构可分为桁架和刚架两种。有限元法对杆系结构离散,通常采用自然离散的形式,也就是把等截 面的杆件作为单元。当单元的两端为铰接,杆件内力只有轴力存在,“杆单元”“桁架” 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆。桁杆的连接处可以自由转动, 因此这类结构只承受拉压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积,与截面形状无关。当单元两端可以承受弯矩和剪力作用时称为 “梁单元”“刚架” 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动, 因此梁不仅能够承受拉压,而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散 。挖掘机桥梁鸟巢空间立体网架鸟巢的有限元 模型工
2、程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。弹弹簧弹弹性力F与弹弹簧伸长长量 (位移)之间间关 系由胡克定律有式中k为弹为弹 簧的刚刚度,是弹弹簧的固有参数。它对应对应 于 力位移图图中F- 关系直线线的斜率。 当k和F已知时时,可由下式求出弹弹簧伸长长量弹簧力位移间关系(4-1)当处处理比较较复杂杂的铰铰接杆系统时统时 ,要确定系统统在力F的作用下,节节点B 、C、D和E处处的变变形,以便计计算各杆件的内应应力及各杆所受的轴轴向力, 可假设设整个杆件系统统也具有像式(4-1)中k值值一样样的刚刚度,这样这样 在力F的作 用下各点的位移就可以用类类似式(4-1)的公式计计算了。不过过,这时这时 的系统统 刚刚度应应采用一个矩阵阵来表示,即 ,同理,各点的位移也应应采用一个 矩阵阵来表示,即 ,再加上矩阵阵 ,就构成了称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。Fku1,F1u2,F2弹簧的作用力矢量为位移矢量为从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。为求出它们,将图示弹簧系统看作两个简单的系统,然后合成。一、单个弹簧的刚度矩阵4-2 弹簧系统的刚度矩阵由力的平衡有ku1F
3、1aF2aA A(a)u2=0ku1=0F1bF2bu2B B (b) ku1F1u2F2A AB B1)只有节点1可以变形,点2固定2)只有节点2可以变形,点1固定3)根据线弹性系统的叠加原理,叠加1) 、2)两种情况,就得到与原始问题一样的结构,如图(c),叠加结果为:(c)作用于节点1上的合力作用于节点2上的合力刚度矩阵对称、奇异矩阵(45)(46)二、组合弹簧的刚度矩阵kakbu1,F1u2,F2 u3,F31233u1,F1akaF2aF3akbu20u30F1bkakbu2,F2bF3bu10u30F1ckakbF2cu3,F3cu10u20(a)(b)(c)1) 只允许节点1有位移u1,力F1a与位移u1之间的关系由于u2 u30,没有力作用于节点3,因此考虑弹簧1-2,由静力平衡条件有2) 只允许节点2有位移u2,这时由于位移的连续性,每个 弹簧在节点2要求有相同的位移,即,弹簧1-2的伸长量与 弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2,对弹簧2- 3 有压力kbu2分别对两弹簧求静力平衡,有3) 只允许节点3有位移u3,类似于情况1),有由于节点1、2无位
4、移,有组合弹簧的刚度矩阵4) 合成。对整个系统来说有3个节点,每个节点只有一个 方向的位移。因此方程应有如下形式:利用线弹性系统的叠加原理,找出33阶刚度矩阵各元素 的表达式节点1处的合力 节点2处的合力节点3处的合力对称、奇异矩阵(48)知道单个弹簧单元的刚度矩阵,可直接叠加出总刚度矩阵。对单个弹簧来说有2个节点,刚度方程为2阶:整个系统有3个节点(位移),将上述方程扩大成3阶方程,按矩阵相加原理将两式叠加,(49)矩阵扩大叠加办法按节节点号将相应单应单 元的刚刚度矩阵阵中元素kij写到总刚总刚 度矩阵阵中的办办法来叠加。以上面两个弹簧系统为例,系统共三个节点,每个节点有一个自由度,因此,该系 统总刚度矩阵应该是33阶的矩阵。第1个单元的节点号为1和2,则单元刚度矩阵中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列,第2列第2个单元的节点号为2和3,则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上三、方程求解(约束条件的引入)由式(46)和式(48)可知,刚度矩阵是一个奇异阵,即它的行列 式的值为零,矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式(47)和式(49)
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