弹性力学与有限元教学课件第3.1章 平面问题的基本理论

第三章第三章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点 建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等主主 要要 内内 容容 §3-1 平面应力问题与平面应变问题 §3-2 平衡微分方程 §3-3 斜面上的应力 主应力 §3-4 几何方程 刚体位移 §3-5 斜方向的应变及位移 §3-6 物理方程 §3-7 边界条件 §3-8 圣维南原理 §3-9 按位移求解平面问题 §3-10 按应力求解平面问题 相容方程 §3-11 常体力情况下的简化 §3-12 应力函数 逆解法与半逆解法§3-1 平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题(1) 几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。 平板如：工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞 轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等。轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等。(2) 受力特征外力（体力、面力）和约约束，仅仅平行于板面作用，沿z 方向不变变化。xyyztba(3) 应力特征 如图选取坐标系，以板的中面 为xy 平面，垂直于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力，有因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板的 各点都有：由切应力互等定理，有结论 ：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。2. 平面应变问题 (1) 几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。 近似认为无限长 (2) 受力特征外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。约束 沿长度 z 方向不变化。 (3) 变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长，则沿 z 方向都不变化， 仅为 x，y 的函数 。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面应变问题（平面位移问题 ）ØØ只有平行于只有平行于 xyxy 面的平面应变分量面的平面应变分量平面应变平面应变qq从数学和几何学角度推导从数学和几何学角度推导水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面位移问题 平面应变问题注 ：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量 ： 仅为 x 、y 的函数 。可近似为平面应变问题的例子 ：煤矿巷道、挡土墙、重力坝等的变形与破坏分析。如图所示三种情形，是否都属于平面问题？是平面应 力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题3. 平面问题的求解问题 ：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求 ： 仅为 x、 y 的函数 需建立三个方面的关系：（1）静力学关系 ： （2）几何学关系 ：（3）物理学关系 ：应变与应力间的关系 。应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；建立边界条件： 平衡微分方程 几何方程 物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；§3-2 平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC（P点附近），DXYz方向取单位长度。设P点应力已知 ：体力：X ，Y AC面：BC面：注： 这里用了小变形假定，以变形 前的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODXY由微元体PABC平衡，得整理得 ： 当时，有 切应力互等定理PBACxyODXY两边同除以dx dy，并整理得：两边同除以dx dy，并整理得：平面问题的平衡微分方程 ：（3-2 ）说明 ：（1）两个平衡微分方程，三个未知量： 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用； （3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（ 钢、铝、混凝土等）； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY§3-3 斜面上的应力 主应力1. 斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YNxyOdx dydsPABsXNYNN设P点的应力分量已知 ：斜面AB上的应力矢量: s 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦： 由微元体平衡： 整理得： （3-3）整理得： （3-4）外法线 xyOdxdydsPABsXNYNN（2）斜面上的正应力与切应力（3-3）（3-4）将式（3-3）（3-4）代入，并整理得：（3-5）（3-6）说明 ：（1）运用了切应力互等定理： （2） 的正负号规定 ：将 N 转动90°而到达 的方向是顺时针的， 则该 为正；反之为负。 任意斜截面上应力计算公式（3）若AB面为物体的边界S，则（3-18） 平面问题的应力边界条件2. 一点的主应力与应力主向xyOdx dydsPABsXNYNN（1）主应力若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；当 时，有求解得 ：（3-7） 平面应力状态主应力的计算公式主应力 所在的平面 称为主平面；主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；由式（3-7）易得 ： 平面应力状态应力第一不变量（2）应力主向设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的 方向余弦为 l1、m1，则设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余 弦为 l2、m2，则应力主向的计算公式 ：（3-8）由得显然有表明 ：1 与 2 互相垂直。结论任一点P，一定存在两互相垂 直的主应力1 、2 。（3）N 的主应力表示 xyOsdx dydsPAB N由1 与 2 分别为最大和最小主应力 。（4）最大、最小切应力由显然，当时，N为最大、最小值：由得 ，max、 min 的方向与1（ 2 ）成45°。xyOdx dydsPAB Ns小结：（3-3）（3-4）（3-5）（3-6）（3-18） 平面问题的应力边界条件（1）斜面上的应力（3-8）表明：1 与 2 互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力（3-7）max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45°。§3-4 几何方程 刚体位移建立：平面问题中应变与位移的关系 几何方程1. 几何方程一点的变形线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形后PABu v注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOP AdxBdyuvPA的正应变 ：PB的正应变 ：P点的切应变： P点两直角线段夹角的变化xyOP AdxBdyuv整理得：几何方程（3-9 ）说明 ： （1 ）反映任一点的位移与该点应变间的 关系，是弹性力学的基本方程之一 。 （2 ）当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ， 不能确定u、v。 （积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3 ） 以两线段夹角减小为正，增大为负。2. 刚体位移物体无变形，只有刚体位移。 即： (a)(b)(c)由(a)、(b)可求得 ： (d)将(d)代入(c)，得 ： 或写成 ： 上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅为 x 的函数，两边只能 等于同一常数，即 (d) 积分(d) ，得： (e)其中，u0、v0为积分常数。 （x、y 方向的刚体位移），代入（d）得:(3-10) 刚体位移表达式讨论 ： (3-10) 刚体位移表达式（1 ）仅有x方向平移 。（2 ）仅有y方向平移 。（3 ）xyOPy xr说明 ： P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的角度（刚性转动）§3-6 物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程 。1. 各向同性完全弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义胡克（Hooke）定律。（3-13 ）其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收 缩系数，又称泊松比。（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（2-15 ） 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程注：(1) (2) 物理方程的另一形式（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中（3-16） 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程注：(2) 平面应变问题物理方程的另一形式：由式（3-13）第三式，得（3-13）(1) 平面应变问题中，但（3）两类平面问题物理方程的转换 ：（3-16 ） 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程（3-15 ）(1)平面应力问题平面应变问题 材料常数的转换为 ：(2)平面应变问题平面应力问题 材料常数的转换为 ：§3-7 边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡微分方程：（3-2 ）（2）几何方程 ：（3-9）（3）物理方程 ：（3-15 ）未知量数：8个方程数：8个结论 ：在适当的边界条件下，上述8个方程可解 。2. 边界条件及其分类边界条件 ：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 xyO q P是力学计算模型建立的重要环节 。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界 三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可 表达为：（3-17 ） 平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明 ：称为固定位移边界 。xyO q P（2）应力边界条件给定面力分量 边界 应力边界xyOdx dydsPABXNYNN由前面斜面的应力分析，得式中取 ：得到： （3-18）式中 ：l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方 向余弦。如： 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界：（3）混合边界条件(1 )物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2 )物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另 一为应力边界条件。如：图(a) ： 位移边界条件 应力边界条件图(b) ： 位移边界条件 应力边界条件例1 如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例2 如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y = 0）：代入边界条件公式，有(2) BC段（x = l）：(3)AC段（y =x tan ）:N§3-8 圣维南原理 问题的提出 ：PPP求解弹性力学问题时，使应力分量 、应变分量、位移分量完全满足8个基本 方程相对容易，但要使边界条件完全满 足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界 条件无法列写。1. 静力等效的概念两个力系，若它们的主矢、主矩都相等，则两个力系为 静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理 ：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布