弹性力学与有限元教学课件第3.1章 平面问题的基本理论
70页1、第三章第三章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论要点 建立平面问题的基本方程包括:平衡微分方程;几何方程;物理方程;变形协调方程;边界条件的描述;方程的求解方法等主主 要要 内内 容容 3-1 平面应力问题与平面应变问题 3-2 平衡微分方程 3-3 斜面上的应力 主应力 3-4 几何方程 刚体位移 3-5 斜方向的应变及位移 3-6 物理方程 3-7 边界条件 3-8 圣维南原理 3-9 按位移求解平面问题 3-10 按应力求解平面问题 相容方程 3-11 常体力情况下的简化 3-12 应力函数 逆解法与半逆解法3-1 平面应力问题与平面应变问题1. 平面应力问题(1) 几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。 平板如:工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、内燃机的飞 轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等。轮、轧机的机架和齿宽较小的直齿圆柱齿轮等。(2) 受力特征外力(体力、面力)和约约束,仅仅平行于板面作用,沿z 方向不变变化。xyyztba(3) 应力特征 如图选取坐标系,以板的中面 为xy 平面,垂直
2、于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力,有因板很薄,且外力 沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板的 各点都有:由切应力互等定理,有结论 :平面应力问题只有三个应力分量:xy应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数,与 z 无关。2. 平面应变问题 (1) 几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另 两个方向的尺寸大得多, 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。 近似认为无限长 (2) 受力特征外力(体力、面力)平行于横截面作 用,且沿长度 z 方向不变化。约束 沿长度 z 方向不变化。 (3) 变形特征如图建立坐标系:以任一横截面为 xy 面,任一纵线为 z 轴。设 z方向为无限长,则沿 z 方向都不变化, 仅为 x,y 的函数 。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面,则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面应变问题(平面位移问题 )只有平行于只有平行于 xyxy 面的平面应变分量面的平面应变分量平面应变平面应变qq从数学和几何学角度推导从数学和几何学角度推导水坝因为任一横截面均可视为对称面,则有所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 平面位移
3、问题 平面应变问题注 :(1)平面应变问题中但是,(2)平面应变问题中应力分量 : 仅为 x 、y 的函数 。可近似为平面应变问题的例子 :煤矿巷道、挡土墙、重力坝等的变形与破坏分析。如图所示三种情形,是否都属于平面问题?是平面应 力问题还是平面应变问题?平面应力问题平面应变问题非平面问题3. 平面问题的求解问题 :已知:外力(体力、面力)、边界条件,求 : 仅为 x、 y 的函数 需建立三个方面的关系:(1)静力学关系 : (2)几何学关系 :(3)物理学关系 :应变与应力间的关系 。应力与体力、面力间的关系;应变与位移间的关系;建立边界条件: 平衡微分方程 几何方程 物理方程(1)应力边界条件;(2)位移边界条件;3-2 平衡微分方程PBACxyO取微元体PABC(P点附近),DXYz方向取单位长度。设P点应力已知 :体力:X ,Y AC面:BC面:注: 这里用了小变形假定,以变形 前的尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODXY由微元体PABC平衡,得整理得 : 当时,有 切应力互等定理PBACxyODXY两边同除以dx dy,并整理得:两边同除以dx dy,并整理得:平面问题的平衡
4、微分方程 :(3-2 )说明 :(1)两个平衡微分方程,三个未知量: 超静定问题,需找补充方程才能求解。(2)对于平面应变问题,x、y方向的平衡方程相同,z 方向自成平衡,上述方程两类平面问题均适用; (3)平衡方程中不含E、,方程与材料性质无关( 钢、铝、混凝土等); (4)平衡方程对整个弹性体内都满足,包括边界。PBACxyODXY3-3 斜面上的应力 主应力1. 斜面上的应力(1)斜面上应力在坐标方向的分量XN,YNxyOdx dydsPABsXNYNN设P点的应力分量已知 :斜面AB上的应力矢量: s 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦: 由微元体平衡: 整理得: (3-3)整理得: (3-4)外法线 xyOdxdydsPABsXNYNN(2)斜面上的正应力与切应力(3-3)(3-4)将式(3-3)(3-4)代入,并整理得:(3-5)(3-6)说明 :(1)运用了切应力互等定理: (2) 的正负号规定 :将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的, 则该 为正;反之为负。 任意斜截面上应力计算公式(3)若AB面为物体的边界S,则(3-18) 平面问题的应力边界条件2. 一点的
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