方法最全的数列求和

数列的求和和风中学：蒋世华考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不 是等差和等比数列的求和问题转 化为等差、等比数列来解决 ；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方 法，并能灵活的运用这些方法解决相应问题 .知识梳理一.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 2+4+6+2n= ； 1+3+5+（2n-1）= ；n2+n n2 二、错位相减法求和例如 是等差数列， 是等比数列，求a1b1 a2b2anbn的和三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或 等比数列，再求和四、并项求和例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首 尾若干项六。倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等 于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列 的和，这一求和的方法称为倒序相加法.七。归纳猜想法 ：先通过归纳猜想和的表达式，再使用数学归纳法等 正面证明。八。奇偶法 通过分组，对n分奇偶讨论求和 九。通项分析求和法十。周期转化法如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一 个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数 列的前n项和进行转化合并例1：求和：10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数例2、已知求S解：倒序相加法 如果一个数列an，与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和（ 都相等，为定值），可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加， 就得到一个常数列的和，这一求和 的方法称为倒序相加法. 类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=变式探究已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)， 求其前n项和例3.例3.已知数列1,3a,5a2，(2n 1)an1(a0)，求其前n项和思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n1与 等比数列a0，a，a2，an1对应项的积，可用错位相减法 求和 解析：设Sn13a5a2(2n1)an1×a得，aSna3a25a3(2n1)an：(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.当a1时，Snn2.点评：若数列an，bn分别是等差、等比数列，则求 数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法乘公比错位相减法 ：如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法. 既anbn型等差等比2. 设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.变式探究2设数列 满足a13a232a33n1an ， aN*.(1)求数列 的通项；(2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.解析：(1)a13a232a33n1an ，(2) bnn·3n，Sn1·32·323·33n·3n，3Sn1·322·333·34(n1)·3nn·3n1两式相减，得2Sn332333nn·3n1，设数列an的前n项和为Sn，点(n， )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列an的通项公式；（2） ，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.例4.（1）依题意得 =3n-2，即Sn=3n2-2n.当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5；当n=1时，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5,an=6n-5(nN*).（2）由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn因此，使得 (nN*)成立的m必须满足 ,即m10.故满足要求的最小正整数m为10. 裂项求和法： 把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消 ，于是前n项的和变成首尾若干少 数项之和，这一求和方法称为分裂 通项法.（见到分式型的要往这种 方法联想） 1特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan1an)常见的拆项公式有：常见的裂项公式有：7n·n！=（n+1）！-n！；89 【分析分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.【解析解析】求数列 ,的前n项和.变式探究：例5.求下面数列的前n项和解（1）：该数列的通项公式为 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个 等比2n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式 没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律 解题.分组求和法, + n1练习1.求数列+ 2 3, +的前n项和 。,22 2 ,32n2+ 1 2 3 n解：=(1+2+3+ +n)Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+ )22322+(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1) 22(2 -1) 2-1n +=n(n+1) 2+2 -2n+1分组求和法2求数列1,34,567,78910，前n项和Sn.2ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1)Sna1a2an点评：运用分组求和法数列前n项和公式时，要注意先考 虑通项公式解析例6：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列并项求和练习：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21例7：已知数列5，55，555，5555，求满足前4项条 件的数列的通项公式及前n项和公式。练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+(1+2+22+2n-1)通项分析求和通项=2n-1先求通项 再处理通 项(2) 数列an中，an2n(1)n，求Sn.4m22m2(n1)2(n1)2n2n2.解析（2）an2n2(1)n，若n2m，则SnS2m2(1232m)2 (1)k2(1232m)(2m1)2mn(n1)若n2m1，则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m22m(1)2m(2m1)2m2(2m1)练习：变式探究 1已知等差数列 的首项为1，前 10项的和为145，求a2a4 .解析：首先由S1010a1 145d3，则ana1(n1)d3n2a2n3·2n2，a2a4a2n3(2222n)2n3 2n3·2n12n6.2求数列1,3 ，32 ，3n 的各项的和3.在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项的和，求：S .在等差数列 中，a13，d2，Sn是其前n项的和，求：S .解析：4.(2010年广州一模)已知数列an满足对任意的 nN*，都有an0，且 (a1a2an)2.(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式an；(3)设数列 的前n项和为Sn，不等式Sn loga(1a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)当n1时，有 ，由于an0，所以a11. 由于a2a11，即当n1时都有an1an1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列故ann. 1要求数列的前n项和，关键是抽取出其通项来加以分 析，根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它 可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3数列求和是数列的一个重要内容，其实质是将多项 式化简，等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求 和问题应掌握，还应掌握一些特殊数列的求和4解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和5“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要 的方法是高考重点考查的内容，应熟练掌握