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方法最全的数列求和

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    • 1、数列的求和和风中学:蒋世华考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式,能把某些不 是等差和等比数列的求和问题转 化为等差、等比数列来解决 ;掌握裂项求和的思想方法,掌握错位相减法求和的思想方 法,并能灵活的运用这些方法解决相应问题 .知识梳理一.公式法:等差数列的前n项和公式:等比数列的前n项和公式 2+4+6+2n= ; 1+3+5+(2n-1)= ;n2+n n2 二、错位相减法求和例如 是等差数列, 是等比数列,求a1b1 a2b2anbn的和三、分组求和把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或 等比数列,再求和四、并项求和例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消,剩下首 尾若干项六。倒序相加法:如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等 于首末两项之和(都相等,为定值),可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列 的和,这一求和的方法称为倒序相加法.七。归纳猜想法 :先通过归纳猜想和的表达式,再使用数学归纳法等 正面证明。八。奇偶法 通过分组,对n分奇偶讨论求和 九。通项分析求和法十。周期转化法如果

      2、一个数列具有周期性,那么只要求出了数列在一 个周期内各项的和,就可以利用这个和与周期的性质对数 列的前n项和进行转化合并例1:求和:10看通项,是什么数列,用哪个公式; 20注意项数例2、已知求S解:倒序相加法 如果一个数列an,与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和( 都相等,为定值),可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加, 就得到一个常数列的和,这一求和 的方法称为倒序相加法. 类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=变式探究已知数列1,3a,5a2,(2n1)an1(a0), 求其前n项和例3.例3.已知数列1,3a,5a2,(2n 1)an1(a0),求其前n项和思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,2n1与 等比数列a0,a,a2,an1对应项的积,可用错位相减法 求和 解析:设Sn13a5a2(2n1)an1a得,aSna3a25a3(2n1)an:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.当a1时,Snn2.点评:若数列an,bn分别是等差、等比数列,则求 数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法乘公比错位相减法 :如果一个数列的各

      3、项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成,此时求和 可采用错位相减法. 既anbn型等差等比2. 设数列 满足a13a232a33n1an ,aN*.(1)求数列 的通项;(2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.变式探究2设数列 满足a13a232a33n1an , aN*.(1)求数列 的通项;(2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.解析:(1)a13a232a33n1an ,(2) bnn3n,Sn13232333n3n,3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减,得2Sn332333nn3n1,设数列an的前n项和为Sn,点(n, )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2) ,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.例4.(1)依题意得 =3n-2,即Sn=3n2-2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时,a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(nN*).(2)由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn因此,使得

      4、(nN*)成立的m必须满足 ,即m10.故满足要求的最小正整数m为10. 裂项求和法: 把数列的通项拆成两项之差,即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差,在求和时一些正负项相互抵消 ,于是前n项的和变成首尾若干少 数项之和,这一求和方法称为分裂 通项法.(见到分式型的要往这种 方法联想) 1特别是对于 ,其中 是各项均不为0的等差数列,通常用裂项相消法,即利用 (其中dan1an)常见的拆项公式有:常见的裂项公式有:7nn!=(n+1)!-n!;89 【分析分析】所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法.【解析解析】求数列 ,的前n项和.变式探究:例5.求下面数列的前n项和解(1):该数列的通项公式为 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。)项的特征反思与小结:要善于从通项公式中看本质:一个等差n 一个 等比2n ,另外要特别观察通项公式,如果通项公式 没给出,则有时我们需求出通项公式,这样才能找规律 解题.分组求和法, + n1练习1.求数列+ 2 3, +的前n项和 。,22 2 ,32n2+ 1 2 3 n解:=(1+2+3+

      5、 +n)Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+ )22322+(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1) 22(2 -1) 2-1n +=n(n+1) 2+2 -2n+1分组求和法2求数列1,34,567,78910,前n项和Sn.2ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1)Sna1a2an点评:运用分组求和法数列前n项和公式时,要注意先考 虑通项公式解析例6:1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=?局部重组转化为常见数列并项求和练习:已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+(-37)+39S21=-1+3+(-5)+7+(-9)+39+(-41)=20=-21例7:已知数列5,55,555,5555,求满足前4项条 件的数列的通项公式及前n项和公式。练习:求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+(1+2+22+2n-1)通项分析求和通项=2n-1先求通项 再处理通 项(2) 数列an中,an2n(1)n,求Sn.4m22m2(n1)2(n1)2n2n2.解

      6、析(2)an2n2(1)n,若n2m,则SnS2m2(1232m)2 (1)k2(1232m)(2m1)2mn(n1)若n2m1,则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m22m(1)2m(2m1)2m2(2m1)练习:变式探究 1已知等差数列 的首项为1,前 10项的和为145,求a2a4 .解析:首先由S1010a1 145d3,则ana1(n1)d3n2a2n32n2,a2a4a2n3(2222n)2n3 2n32n12n6.2求数列1,3 ,32 ,3n 的各项的和3.在等差数列 中,a13,d2,Sn是其前n项的和,求:S .在等差数列 中,a13,d2,Sn是其前n项的和,求:S .解析:4.(2010年广州一模)已知数列an满足对任意的 nN*,都有an0,且 (a1a2an)2.(1)求a1,a2的值;(2)求数列an的通项公式an;(3)设数列 的前n项和为Sn,不等式Sn loga(1a)对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围解析:(1)当n1时,有 ,由于an0,所以a11. 由于a2a11,即当n1时都有an1an1,所以数列an是首项为1,公差为1的等差数列故ann. 1要求数列的前n项和,关键是抽取出其通项来加以分 析,根据数列的通项的结构特点去选择适当的方法2等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,它 可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决3数列求和是数列的一个重要内容,其实质是将多项 式化简,等差、等比数列及可以转化为等差、等比数列的求 和问题应掌握,还应掌握一些特殊数列的求和4解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比 数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 (2)不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和5“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最重要 的方法是高考重点考查的内容,应熟练掌握

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