方法最全的数列求和
53页1、数列的求和和风中学:蒋世华考纲要求掌握等差数列、等比数列的前n项和公式,能把某些不 是等差和等比数列的求和问题转 化为等差、等比数列来解决 ;掌握裂项求和的思想方法,掌握错位相减法求和的思想方 法,并能灵活的运用这些方法解决相应问题 .知识梳理一.公式法:等差数列的前n项和公式:等比数列的前n项和公式 2+4+6+2n= ; 1+3+5+(2n-1)= ;n2+n n2 二、错位相减法求和例如 是等差数列, 是等比数列,求a1b1 a2b2anbn的和三、分组求和把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或 等比数列,再求和四、并项求和例如求10029929829722212的和五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消,剩下首 尾若干项六。倒序相加法:如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等 于首末两项之和(都相等,为定值),可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列 的和,这一求和的方法称为倒序相加法.七。归纳猜想法 :先通过归纳猜想和的表达式,再使用数学归纳法等 正面证明。八。奇偶法 通过分组,对n分奇偶讨论求和 九。通项分析求和法十。周期转化法如果
2、一个数列具有周期性,那么只要求出了数列在一 个周期内各项的和,就可以利用这个和与周期的性质对数 列的前n项和进行转化合并例1:求和:10看通项,是什么数列,用哪个公式; 20注意项数例2、已知求S解:倒序相加法 如果一个数列an,与首末两项等 距的两项之和等于首末两项之和( 都相等,为定值),可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式相加, 就得到一个常数列的和,这一求和 的方法称为倒序相加法. 类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=变式探究已知数列1,3a,5a2,(2n1)an1(a0), 求其前n项和例3.例3.已知数列1,3a,5a2,(2n 1)an1(a0),求其前n项和思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,2n1与 等比数列a0,a,a2,an1对应项的积,可用错位相减法 求和 解析:设Sn13a5a2(2n1)an1a得,aSna3a25a3(2n1)an:(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an.当a1时,Snn2.点评:若数列an,bn分别是等差、等比数列,则求 数列anbn的前n项和的方法就是用错位相减法乘公比错位相减法 :如果一个数列的各
3、项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成,此时求和 可采用错位相减法. 既anbn型等差等比2. 设数列 满足a13a232a33n1an ,aN*.(1)求数列 的通项;(2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.变式探究2设数列 满足a13a232a33n1an , aN*.(1)求数列 的通项;(2)设bn ,求数列 的前n项和Sn.解析:(1)a13a232a33n1an ,(2) bnn3n,Sn13232333n3n,3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减,得2Sn332333nn3n1,设数列an的前n项和为Sn,点(n, )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2) ,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.例4.(1)依题意得 =3n-2,即Sn=3n2-2n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5;当n=1时,a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(nN*).(2)由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn因此,使得
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