概率论第六讲

概率论与数理统计 第六讲连续型随机变量 X 所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示 随机变量的概率分布。§2.3 连续型随机变量例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:2.3.1 频率直方图129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。128155作频率直方图的步骤(1). 先确定作图区间 a, b ;a = 最小数据-/ 2，b = 最大数据+/ 2， 是数据的精度。本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 确定数据分组数 m = 1.87×(n1)2/5 + 1， 组距 d = (b a) / m，子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, · · · , m；(3). 计算落入各子区间内观测值频数ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, · · · , n，频率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · · , m；子区间间频频数频频率 (127.5, 131.5)60.06 (131.5, 135.5)120.12 (135.5, 139.5)240.24 (139.5, 143.5)280.28 (143.5, 147.5)180.18 (147.5, 151.5)80.08 (151.5, 155.5)40.04(4). 以小区间 ti-1，ti 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为高作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况 。用上述直方图刻画随机变量X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概 率分布情况。2.3. 2 概率密度函数定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机 变量X取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。这两条性质是判定函数f(x) 是否为某随机变量X 的概率密度函数的充 要条件。密度函数的性质f(x)与 x 轴所围面积等于1。若x是 f(x)的连续点，则=f(x)，(3). 对 f(x)的进一步理解：故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 x , x +x上的概率与区间长 度x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点 a 处 取值，不是事件 X =a 的概率。但是，该值 越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。若不计高阶无穷小，有：表示随机变量 X 取值于(x , x + x上的概率 近似等于 f (x ) × x 。f (x ) × x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作 用类似。(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.即：a为任意给定值。这是因为：由此得， 对连续型 随机变量 X, 有 由P(X=a)=0， 可推出而 X=a 并非不可能事件,可见：由P(A)=0, 不能推出 A=Ø；并非必然事件。由 P(B)=1, 不能推出 B=。2.3.3 常见的连续型随机变量正态分布、均匀分布、指数分布正态分布是应用最广泛 的一种连续型分布。正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss) 给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。1. 正态分布这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布 的概率密度曲线。I. 正态分布的定义定义：若随机变量 X 的概率密度函数为记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。(Normal )其中和都是常数，任意，>0，则称X 服从参数为和的正态分布。II. 正态分布 的图形特点特点“两头低，中间高，左右对称”。正态分布的密度曲线是一条关于X=对 称的钟形曲线。正态分布 的图形特点决定了图图形的中心位置, 决定了图图形 峰的陡峭程度。故 f(x) 以 x =为对称轴，并在 x=处达到最 大值:令x1=+c, x2=-c (c>0), 分别代入 f (x), 得f (x1) = f (x2)，且 f (+c) f ()， f (-c) f ().这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。 当 x 时，f(x) 0。用求导的方法可以证明：为f (x)的两个拐点的横坐标。x = III. 正态分布 的分布函数IV. 标准正态分布称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数 和分布函数常分别用 来表示。它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布。根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题。定理1：书末附有标准正态分 布函数数值表，有了它， 可以解决一般正态分布的 概率计算问题。V. 正态分布表表中给出的是 x >0时，(x)的取值;若 XN(0, 1),服从N(0,1)例1：假设某地区成年男性的身高(单位: cm) XN(170,7.692), 求该地区成年男性的身高 超过 175cm 的概率。 解: 根据假设 XN(170 ,7.692)，知事件 X >175 的概率为解: 设车门高度为 h ，按设计要求P(X h)0.01，或 P(Xa= Xb - Xa， 而 Xa Xb，所以Pa1= _3. 随机变量XU1,6, 则方程t2 +Xt+1=0有 实根的概率_4. 设随机变量XU1,5， 对X进行3次 独立观测，则至少有两次观测值大于3 的概率_补充练习 5. 随机变量XN(10,0.022), 且