【试卷】2017年湖北省自主招生数学试卷（含答案和解析）

<p>第 1 页（共 20 页）2017 年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1 （5 分）方程组的解是 &nbsp; &nbsp; 2 （5 分）若对任意实数 x 不等式 axb 都成立，那么 a，b 的取值范围为 &nbsp; &nbsp; 3 （5 分）设1x2，则|x2|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 &nbsp; &nbsp; 4 （5 分）两个反比例函数 y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、P2007在反比例函数 y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、x2007，纵坐标分别是 1，3，5共 2007 个连续奇数，过P1，P2，P3、P2007分别作 y 轴的平行线，与 y=的图象交点依次为Q1（x1，y1） 、Q1（x2，y2） 、Q2（x2007，y2007） ，则|P2007Q2007|= &nbsp; &nbsp; 5 （5 分）如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线长是 &nbsp; &nbsp; 第 2 页（共 20 页）6 （5 分）有一张矩形纸片 ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使 A、C 两点重合，那么折痕长是 &nbsp; &nbsp; 7 （5 分）已知 3，a，4，b，5 这五个数据，其中 a，b 是方程 x23x+2=0 的两个根，则这五个数据的标准差是 &nbsp; &nbsp; 8 （5 分）若抛物线 y=2x2px+4p+1 中不管 p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 &nbsp; &nbsp; 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）9 （5 分）如图，ABC 中，D、E 是 BC 边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在 AC 边上，CM：MA=1：2，BM 交 AD，AE 于 H，G，则 BH：HG：GM 等于（ &nbsp;）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：1010 （5 分）若一直角三角形的斜边长为 c，内切圆半径是 r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ &nbsp;）ABCD11 （5 分）抛物线 y=ax2与直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ &nbsp;）Aa1Ba2Ca1Da212 （5 分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔 3 支，练习本 7本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 8 本，圆珠笔 2 支共需4.2 元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需（ &nbsp;）A1.2 元B1.05 元 C0.95 元 D0.9 元13 （5 分）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且 x11x2，那么实数 a 的取值范围是（ &nbsp;）第 3 页（共 20 页）ABCD14 （5 分）如图，正方形 ABCD 的边 AB=1，和都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ &nbsp;）AB1C1D115 （5 分）已知锐角三角形的边长是 2，3，x，那么第三边 x 的取值范围是（ &nbsp;）A1xBCD16 （5 分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ &nbsp;）A2x% B1+2x%C （1+x%）x% D （2+x%）x%三、解答题（共三、解答题（共 40 分）分）17 （7 分）设 m 是不小于1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m23m+3=0有两个不相等的实数根 x1、x2，（1）若 x12+x22=6，求 m 值；（2）求的最大值18 （7 分）如图，开口向下的抛物线 y=ax28ax+12a 与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上另有一点 C 在第一象限，且使OCAOBC，（1）求 OC 的长及的值；（2）设直线 BC 与 y 轴交于 P 点，点 C 是 BP 的中点时，求直线 BP 和抛物线的解析式第 4 页（共 20 页）19 （7 分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按 120 个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱工 &nbsp;时产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）20 （9 分）一个家庭有 3 个孩子，（1）求这个家庭有 2 个男孩和 1 个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率21 （10 分）如图，已知O 和O相交于 A、B 两点，过点 A 作O的切线交O 于点 C，过点 B 作两圆的割线分别交O、O于 E、F，EF 与 AC 相交于点P（1）求证：PAPE=PCPF；（2）求证：；（3）当O 与O为等圆时，且 PC：CE：EP=3：4：5 时，求PEC 与FAP 的面积的比值第 5 页（共 20 页）第 6 页（共 20 页）2017 年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）1 （5 分）方程组的解是 和 【解答】解：设 x+1=a，y1=b，则原方程可变为，由式又可变化为=26，把式代入得=13，这又可以变形为（+）23=13，再代入又得3=9，解得 ab=27，又因为 a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得故答案为和2 （5 分）若对任意实数 x 不等式 axb 都成立，那么 a，b 的取值范围为 a=0，b0 【解答】解：如果 a0，不论 a 大于还是小于 0，对任意实数 x 不等式axb 都成立是不可能的，a=0，则左边式子 ax=0，b0 一定成立，第 7 页（共 20 页）a，b 的取值范围为 a=0，b03 （5 分）设1x2，则|x2|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 1 【解答】解：1x2，x20，x+20，当 2x0 时，|x2|x|+|x+2|=2xx+x+2=4x；当1x0 时，|x2|x|+|x+2|=2x+x+x+2=4+x，当 x=0 时，取得最大值为 4，x=2 时取得最小值，最小值为 3，则最大值与最小值之差为 1故答案为：14 （5 分）两个反比例函数 y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1，P2，P3、P2007在反比例函数 y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、x2007，纵坐标分别是 1，3，5共 2007 个连续奇数，过P1，P2，P3、P2007分别作 y 轴的平行线，与 y=的图象交点依次为Q1（x1，y1） 、Q1（x2，y2） 、Q2（x2007，y2007） ，则|P2007Q2007|= &nbsp;第 8 页（共 20 页）【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013） ，又P2007在 y=上，Px2007=而 Qx2007（即 Px2007）在 y=上，所以 Qy2007=，|P2007Q2007|=|Py2007Qy2007|=|4013|=故答案为：5 （5 分）如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线长是 3 【解答】解：图中扇形的弧长是 2，根据弧长公式得到 2=n=120°即扇形的圆心角是 120°弧所对的弦长是 2×3sin60°=36 （5 分）有一张矩形纸片 ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使 A、C 两点重合，那么折痕长是 &nbsp;【解答】解：如图，由勾股定理易得 AC=15，设 AC 的中点为 E，折线 FG 与 AB交于 F， （折线垂直平分对角线 AC） ，AE=7.5AEF=B=90°，EAF 是公共角，AEFABC，第 9 页（共 20 页）=EF=折线长=2EF=故答案为7 （5 分）已知 3，a，4，b，5 这五个数据，其中 a，b 是方程 x23x+2=0 的两个根，则这五个数据的标准差是 &nbsp;【解答】解：由方程 x23x+2=0解方程的两个根是 1，2，即 a=1，b=2故这组数据是 3，1，4，2，5其平均数（3+1+4+2+5）=3方差 S2=（33）2+（13）2+（43）2+（23）2+（53）2=2故五个数据的标准差是 S=故本题答案为：8 （5 分）若抛物线 y=2x2px+4p+1 中不管 p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 （4，33） 【解答】解：y=2x2px+4p+1 可化为 y=2x2p（x4）+1，分析可得：当 x=4 时，y=33；且与 p 的取值无关；故不管 p 取何值时都通过定点（4，33） 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 5 分，共分，共 40 分）分）第 10 页（共 20 页）9 （5 分）如图，ABC 中，D、E 是 BC 边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在 AC 边上，CM：MA=1：2，BM 交 AD，AE 于 H，G，则 BH：HG：GM 等于（ &nbsp;）A3：2：1B5：3：1C25：12：5D51：24：10【解答】解：连接 EM，CE：CD=CM：CA=1：3EM 平行于 ADBHDBME，CEMCDAHD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3AH=（3）ME，AH：ME=12：5HG：GM=AH：EM=12：5设 GM=5k，GH=12k，BH：HM=3：2=BH：17kBH=K，BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选：D10 （5 分）若一直角三角形的斜边长为 c，内切圆半径是 r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ &nbsp;）第 11 页（共 20 页）ABCD【解答】解：设直角三角形的两条直角边是 a，b，则有：S=，又r=，a+b=2r+c，将 a+b=2r+c 代入 S=得：S=r=r（r+c） 又内切圆的面积是 r2，它们的比是故选：B11 （5 分）抛物线 y=ax2与直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（ &nbsp;）Aa1Ba2Ca1Da2【解答】解：由右图知：A（1，2） ，B（2，1） ，再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把 A 点代入 y=ax2得 a=2，把 B 点代入 y=ax2得 a=，则 a 的范围介于这两点之间，故a2故选：D第 12 页（共 20 页）12 （5 分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔 3 支，练习本 7本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 8 本，圆珠笔 2 支共需4.2 元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各 1 件共需（ &nbsp;）A1.2 元B1.05 元 C0.95 元 D0.9 元【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要 x，y，z 元，根据题意得，得 x+y+z=1.05（元） 故选：B13 （5 分）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且 x11x2，那么实数 a 的取值范围是（ &nbsp;）ABCD【解答】解：方法 1</p>