中考数学压轴题解析《相似三角形的存在性问题》解题策略
<p>1相似三角形的存在性问题相似三角形的存在性问题解题策略解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题 1、2、3、4应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题 6应用判定定理 3 解题不多见，如例题 5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 2例题解析例 如图 1-1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，与213482yxxy 轴交于点 C动直线 EF（EF/x 轴）从点 C 开始，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点，动点 P 同时从点 B 出发，在线段 OB 上以每秒2 个单位的速度向原点 O 运动是否存在 t，使得BPF 与ABC 相似若存在，试求出 t的值；若不存在，请说明理由图 1-1【解析】BPF 与ABC 有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边ABC 是确定的由，可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)213482yxx于是得到 BA4，BC还可得到4 51 2CECO EFOBBPF 中，BP2t，那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来，问题就解决了在 RtEFC 中，CEt，EF2t，所以5CFt因此4 555(4)BFtt于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当时，解得（如图 1-2） BABP BCBF42 4 55(4)t t4 3t 当时，解得（如图 1-3） BABF BCBP45(4) 24 5t t20 7t 图 1-2 图 1-33例 如图 2-1，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx（a0）经过点A 和 x 轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120°（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结 O M，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 2-1 【解析】ABC 与AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点 M 的坐标，为第（2）题求AOM 的大小作铺垫；求得了AOM 的大小，第（3）题暗示了要在ABC中寻找与AOM 相等的角（1）如图 2-2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H容易得到 A( 1, 3)再由 A、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为( 1, 3)232 3 33yxx（2）由，得顶点 M 2232 333(1)3333yxxx3(1,)3所以所以BOM30°所以AOM150°3tan3BOM来源:Zxxk.Com图 2-2（3）由 A、B(2,0)，可得ABO30°来源:Zxxk.Com( 1, 3)因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150°所以ABC 与AOM 相似，存在两种情况：当时，此时 C(4,0)（如图 2-3） 3BAOA BCOM2 3233BABC 当时，此时 C(8,0)（如图 2-4） 3BCOA BAOM332 36BCBA4图 2-3 图 2-4例 如图 3-1，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点D，顶点为 C（1）求此抛物线的解析式；（2）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MNx 轴于点 N，使以A、M、N 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 3-1【解析】AMN 是直角三角形，因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为 yx24x3（2）由 yx24x3(x2)21，得 D(0,3)，C(2, 1)如图 3-2，由 B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知CBO45°， DBO45°所以CBD90°，且21 33 2BC BD图 3-2 图 3-3 图 3-4设点 M、N 的横坐标为 x，那么 NMyM，而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当 N 在 A 右侧时，NAx1，分两种情况列方程：当时，解得此时 M（如图 3-3） 3NABD NMBC13(1)(3)x xx10 3x 107(,)39当时，解得 x6此时 M(6,15)（如图 3-5） 1 3NABC NMBD11 (1)(3)3x xx当 N 在 A 左侧时，NA1x，也要分两种情况列方程：当时，解得1，不符合题意（如图 3-4） 3NABD NMBC13(1)(3)x xx8 3x 当时，解得 x0，此时 M(0,3)（如图 3-6） 1 3NABC NMBD11 (1)(3)3x xx5图 3-5 图 3-66例 如图 4-1，在平面直角坐标系中，A(8 ,0)，B(0,6)，点 C 在 x 轴上，BC 平分OBA点 P 在直线 AB 上，直线 CP 与 y 轴交于点 F，如果ACP 与BPF 相似，求直线 CP的解析式图 4-1【解析】首先求得点 C(3,0)ACP 与BPF 中，相等的角在哪里啊？如图 4-2，当点 P 在线段 AB 上时，ACP 与BPF 中，APC 与BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此 CP 与 AB 是垂直的可以求得 F(0,4)，于是直线 CF(CP)为443yx如图 4-3，当点 P 在 AB 的延长线上时，ACP 与BPF 有公共角P于是OFCPFBA，可以求得 F(0, 4)，因此直线 CF(CP)为443yx 如图 4-4，当点 P 在 BA 的延长线上时，B 与PCA 不可能相等在AOB 中，根据大边对大角，BBAO；BAO 又是PCA 的一个外角 ，BAOPCA图 4-2 图 4-3 图 4-47例 如图 5-1，二次函数 yx23x 的图象经过点 A(1,a)，线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D在 y 轴上取一点 C(0, 2)，直线 AC 交抛物线于点 B，连结OA、OB、OD、BD求坐标平面内使EODAOB 的点 E 的坐标；来源:学+科+网 Z+X+X+K 图 5-1【解法一】点 A、D、B 都是确定的，可以求得 A(1, 4)，D(4, 4)，B(2,2)所以，17AO 2 2BO 3 5AB 4 2DO EODAOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理 3 列方程由，得所以，来源:学。科。网 Z。X。X。KEOODDE AOOBBA4 2172 23 5EODE2 17EO 6 5DE 设 点 E 的坐标为(x, y)，根据 EO268，DE2180，列方程组解222268,(4)(4)180.xyxy得 118,2,xy 222,8,xy 所以点 E 的坐标为(8,2)或( 2, 8)上面的解题过程是“盲解” ，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】如图 5-2，AOB 是确定的，AOB 与EOD 有公共点O，OBOD12，BOD90°如果EODAOB，我们可以把AOB 绕着点 O 顺时针旋转，使得点 B落在 OD 上，此时旋转角为 90°，点 B恰好落在 OD 的中点按照这个运动规则，点 A(1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转 90°，得到点 A(4,1)，点 A是线段 OE 的中点，因此点 E 的坐标为(8,2)如图 5-3，点 E(8,2)关于直线 OD（即直线 yx）对称的点为 E(2,8)8图 5-2 图 5-3例 如图 6- 1，在ABC 中，ABAC4，BC8A 的半径为 2，动点 P 从点2 B 出发沿 BC 方向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动延长 BA 交A 于点 D，连结 AP 交A 于点 E，连结 DE 并延长交 BC 于点 F设点 P 运动的时间为 t 秒，当ABP 与FBD 相 似时，求 t 的值图 6-1【解析】ABC 是等腰直角三角形，A 是确定的，先按照题意把图形补充完整如图 6-2，容易发现ABP 与FBD 有公共角B，如果根据对应边成比例列方程或，其中 BA4，BPt，BD42，但是用含 t 的式子表示 BFBABD BPBFBABF BPBD22困难重重啊！图 6-2 图 6-3 图 6-4来源:Zxxk.Com我们另起炉灶，按照判定定理 1 来解决ABP 与FBD 有公共角B，我们以D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图 6-3，BAPD 是不可能的，这是因为BAP 是等腰三角形 ADE的外角，BAP2D第二种情况，如图 6-4，当BPAD 时，在ABP 中，由于BAP2D2BPA，因此 45°3BPA180°解得BPA45°此时ABP 是等腰直角三角形，P 与 C 重合，所以 t8解答这道题目，如果选取点 P 的 3 个不同位置，按照题意画图，可以帮助我们探究在讨论第二种情况BPAD 时，我们容易被已知图 6-1 给定的点 P 的位置所误导，以为图 6-2 中“锐角D”与“钝角BPA”不可能相等</p>
