中考数学压轴题解析《相似三角形的存在性问题》解题策略
8页1、1相似三角形的存在性问题相似三角形的存在性问题解题策略解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验,如例题 1、2、3、4应用判定定理 1 解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例题 6应用判定定理 3 解题不多见,如例题 5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) 2例题解析例 如图 1-1,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,与213482yxxy 轴交于点 C动直线 EF(EF/x 轴)从点 C 开始,以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平移,且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点,动点 P 同时从点 B 出发,在线段 OB 上以每秒2 个单位的速度向原点 O 运动是否存在 t,使得BPF 与ABC 相似若存在,试求出 t的值;若不存在,请说明理由图 1-1【解析】BPF 与ABC 有公共角B,那么我们梳
2、理两个三角形中夹B 的两条边ABC 是确定的由,可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)213482yxx于是得到 BA4,BC还可得到4 51 2CECO EFOBBPF 中,BP2t,那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来,问题就解决了在 RtEFC 中,CEt,EF2t,所以5CFt因此4 555(4)BFtt于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程:当时,解得(如图 1-2) BABP BCBF42 4 55(4)t t4 3t 当时,解得(如图 1-3) BABF BCBP45(4) 24 5t t20 7t 图 1-2 图 1-33例 如图 2-1,在平面直角坐标系中,顶点为 M 的抛物线 yax2bx(a0)经过点A 和 x 轴正半轴上的点B,AOBO2,AOB120(1)求这条抛物线的解析式;(2)连结 O M,求AOM 的大小;(3)如果点 C 在 x 轴上,且A
3、BC 与AOM 相似,求点 C 的坐标图 2-1 【解析】ABC 与AOM 中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难,层层深入第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点 M 的坐标,为第(2)题求AOM 的大小作铺垫;求得了AOM 的大小,第(3)题暗示了要在ABC中寻找与AOM 相等的角(1)如图 2-2,过点 A 作 AHy 轴,垂足为 H容易得到 A( 1, 3)再由 A、B(2,0)两点,可求得抛物线的解析式为( 1, 3)232 3 33yxx(2)由,得顶点 M 2232 333(1)3333yxxx3(1,)3所以所以BOM30所以AOM1503tan3BOM来源:Zxxk.Com图 2-2(3)由 A、B(2,0),可得ABO30来源:Zxxk.Com( 1, 3)因此当点 C 在点 B 右侧时,ABCAOM150所以ABC 与AOM 相似,存在两种情况:当时,此时 C(4,0)(如图 2-3) 3BAOA BCOM2 3233BABC 当时,此时 C(8,0)(如图 2-4) 3BCOA BAOM332 36BCBA4图 2-3 &n
4、bsp; 图 2-4例 如图 3-1,抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)两点,与 y 轴交于点D,顶点为 C(1)求此抛物线的解析式;(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M,过 M 作 MNx 轴于点 N,使以A、M、N 为顶点的三角形与BCD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由图 3-1【解析】AMN 是直角三角形,因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下,根据直角边对应成比例分两种情况列方程(1)抛物线的解析式为 yx24x3(2)由 yx24x3(x2)21,得 D(0,3),C(2, 1)如图 3-2,由 B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1),可知CBO45, DBO45所以CBD90,且21 33 2BC BD图 3-2 图 3-3
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