小学数学六年级上册第三单元《分数除法》错例分析

1六年级上册第三单元六年级上册第三单元 分数除法分数除法错例一【错例来源】课堂作业本中的第 22 页第 3 题。【错题再现】在下图中，用阴影表示算式的意义。÷3= 答题情况32图 1 图 2 图 3【题意解读】此题主要考查学生对“分数除以整数”运算意义的理解。【情况说明】学生出错的情况主要有以上几种：一是用阴影只表示出得数（如图 1） ，92约占 23%；二是只表示出了，而对于“÷3”则无从下笔（如图 2） ，约占 30%；三32是表示出了整个图形的，又表示出了整个图形的（如图 3） ，约占 8%，主要集中32 31在后 20%的学生。【原因分析】分数除法算式意义的理解是教学的难点，学生在平时的生活中缺乏此类知识的经验基础，教材的配套练习量也不够；教材在呈现这部分内容时先通过动手操作，再到几何直观，最后将算式与操作、图形相联系来帮助学生理解“分数除以整数”算式的意义，知识的学习遵循学生由具体到抽象的认知规律。而此题却以逆向思维为主，将抽象的算式用几何直观来表示出分数除法算式的意义，对学生来说，难上加难。另外，此题需先在图中用阴影表示出 9 格的，即 6 格，再将 6 格平均分成 3 份，取32其中 1 份再涂上阴影在这个过程中含有两个整体，分别是总数 9 格和 9 格中的 6格。而这对于后进生来说，非常难。如果将过程分解得再细致点，此题需要经过：（1）数数，得出共 9 格；（2）9÷3=3（格） 。将 9 格平均分成 3 份，每份 3 格；（3）3×2=6（格） 。取 2 份，即 6 格，涂阴影；（4）6÷3=2（格） 。将涂阴影的 6 格再平均分成 3 份，每份 2 格；（5）取 1 份，即 2 格，再涂阴影。【教学提示】综上所述，在教学“分数除以整数”的教学过程中，应为学生提供有效的操作活动，呈现清晰的几何直观，暴露完整的思维过程，帮助学生深刻地理解分数数 算 分 涂 算 分 涂32÷32除以整数算式的意义，并应用逆向思维，防止学生的思维定势，培养灵活应用知识的能力。1.动手操作。根据算式的意思，通过折一折，说一说，将过程细化，初步感知分数除以整数的意义，积累活动经验，为后续的抽象学习建立现实基础。2.几何直观。将操作的过程通过几何图形展示出来，请学生描述平均分的过程：首先将整体进行平均分，取相应的份数；其次将所取的份数再进行平均分。3.建立模型。回顾操作的过程，结合算式想象每一步的关键点，并说给同桌听。4.有效练习。设计有效的相匹配的练习，重视对思维过程和算理的考察，包括基础题、变式题等，加深学生的记忆痕迹。【延伸拓展】先在下图中涂色表示，再按除法算式分一分，并填空。54÷2=（ ）54÷2 就是求的（）是多少。54 54如上题所示，将题目的要求细化，有利于学生理解题意，知道先做什么再做什么，从而将抽象的算式与具体的图形、操作的步骤、意义等建立联系，最后通过填空将思维提升到算理的概括与理解上来。错例二【错例来源】课堂作业本第 24 页第 3 题【错题再现】下面的计算对吗？不对的请改正。÷（+）41 21 61=÷+÷41 21 41 61=+21 23=2（）【题意解读】分数四则运算的熟练掌握情况。【情况说明】学生的错识情况如上，约有 48%的学生认为是对的。学生将乘法分配律“负迁移”到分数除法，有简便运算的意识，但对于除法意义理解不够全面。【原因分析】在本册单元一分数乘法的学习过程中，有乘法分配律的应用，而且学生练习得较为扎实。 “因为乘法有分配律，所以除法应该也有分配律”在问及想法时3很多学生是这样想的。确实，除法为什么不能有呢？而且学生还举例 （+）÷21 61 41= =÷+÷21 41 61 41=2+32=232在计算这类分数除法算式时却可以有类似“分配律”的应用，说明分数除法里也有除法分配律。【教学提示】学生的想法很合理也很正常，符合他们的身心发展规律和认知特点。那么，面对这样的错例，我们该如何引导他们进行辩证地思考问题呢？1. 充分肯定学生的猜想。学生能根据已有的知识经验对未知的新知识进行大胆地猜想和推断，是非常值得肯定的，说明他们的逻辑思维能力已逐步提高。2. 引导学生验证结果的正确性。应用“除法分配律”计算“÷（+） ”的结41 21 61果是否正确，可以用一般的计算方法来反证。遵循四则混合运算的法则，先算小括号里的加法，再算除法得÷（+）=÷=，一般计算方法得到的结果与41 21 61 41 32 83 83“除法分配律”得到的结果 2 不一致，可以肯定是对的， “除法分配律”是错的。833. 观察对比，突出本质。（+）÷ （+）÷21 61 41 21 61 41= =÷+÷ =÷21 41 61 41 32 41=2+ =3238=2（“除法分配律” ） =2（“一般算法” ）3232得数一致。为什么这类的分数除法的“分配律”可行？因为（+）÷可以看做21 61 41是（+）×4，即可以转化为分数乘法，符合乘法分配律的条件。所以，看上去是21 61除法，可实际上是乘法。但÷（+） ，却不能将“÷”直接转化成“×”进行计41 21 614算。4. 总结特点，概括方法。区别 a÷(b+c)与(b+c)÷a，在计算时要注意检查，并用一般算法再仔细验证。【延伸拓展】教科书练习八（P39）第 5 题“计算下面各题”中的“35÷（1-） ” 、 “72÷（+） ”等算式均会出现这种错误情况。因此，在做练习的时候，可以通过4021 101 53相似题型的对比进行适当的强化和巩固练习，如 35÷（1-）与（1-）72 72÷35，÷（+）与（+）÷等。4021 101 53 101 53 4021错例三错例来源】课堂作业本中的第 32 页第 4 题。【错题再现】果园里桃树 42 棵，比苹果树的棵数少。苹果树有多少棵？71第一种答案：42×（1+）=48（棵）71第二种答案：4242×=36（棵） 或 42×（1-）=36（棵）71 71第三种答案：其他。42×=6（棵） 42÷=294（棵） 42+=42（棵）71 71 71 71【题意解读】主要考查学生稍复杂分数除法解决问题的理解与应用。【情况说明】学生的答题情况如下:答题情况人数错误率142×（1+）=48（棵）7135 人40.2%24242×=36（棵）7142×（1-）=36（棵）7111 人12.6%3其他10 人11.5%-64.3%（学生总人数：87 人。 ）【原因分析】稍复杂的分数除法解决问题5是本单元教学的难点。学生在解决此类问题时主要有以下几点认知缺陷或者盲点：1. 知识的“负迁移” 。 从与学生的谈话中了解到， “桃树比苹果树的棵数少”71就是“苹果树的棵数比桃树多”大部分学生是这样理解的。而实际上这是不相71等的。造成这种认知结构缺陷的原因主要是原有知识的“负迁移” 。因为在学生的头脑中存在大量的“反面”例证，如：白兔比灰兔多 8 只，就是灰兔比白兔少 8 只。实际比计划多生产 0.5 吨，就是计划比实际少生产 0.5 吨。学生已经对此类知识进行了抽象和概括“甲比乙多几，就是乙比甲少几” 。但这里的“几”仅限于具体的数量，对于分率就不适用了。学生对此类分数除法问题的新的联系没有建立起来，新知识未有效同化，未建立起稳固的连接，而被旧有的理解所代替。2. 对分率的理解不够准确和深刻。具体表现为找不出题目中的“单位 1” ，对于题目中的分数是表示具体的量还是分率？无法理解和准确区分。3. 解决问题的方法和策略单一。在学生的答题中，仅有 1 人有画线段图来帮助理解和解决问题，学生对于抽象的问题无法通过几何直观进行分析，更无法准确找出相应的数量关系。4. 教材强调用方程解答，但在答题的过程中，仅有 5 位同学（约占 0.5%）用方程的方法解决这类问题，99%的同学选择用算术方法解答。方程方法有它的优势，但学生由于解方程过程的繁琐而不愿意用方程解答。而算术方法是方程方法的逆向方法，在理解上比方程更难。【教学提示】通过以上分析，在教学过程中应立足学生的难点和疑点，采用多种方式降低题目的抽象性，采用几何直观、数量分析等方式帮助学生理解题意，厘清思路。1.简化处理信息，理解分率含义。在课堂上引导学生对信息进行有效地简化，培养学生由外化进入简约内化的处理能力。以分数的意义为主线，多层次、多角度展开对分率的讨论，使学生真正理解分率的含义。2.直观呈现，发挥线段图作用。线段图是学生从直观向抽象过渡的桥梁，是分析问题和理解数量关系的好助手。因此，在教学过程中应引导学生认识线段图，掌握看线段图的方法，并尝试画线段图，提高用线段图的意识和能力。63.强调数量关系。数量关系是解决问题的最重要的策略，它反映的是数量之间本质的内丰联系。在教学时，可以经常做“根据已知条件，说一说隐含数量关系式”的练习。4.凸显方程优势，促进有效建模。5.拓展题目类型，设计对比练习。【延伸拓展】1.课前补充“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的相关知识，意图是让学生在学习例题之前明白“甲比乙多，不可以说乙比甲少” ，完善“比较量相同、标41 41准量不同，分率也不同”的认知结构。如：男生 4 人 女生 5 人 女生比男生多 1 人，多的人数是男生的（） ，也就是女生比男生多（） ；41 41男生比女生少 1 人，少的人数是女生的（） ，也就是男生比女生少（） 。51 51思考：男女生相差的人数都是 1 人，为什么说女生比男生多，男生比女生少，41 51而不是男生比女生少呢？412.设计对比练习。（1）标准量对比练习学校航模组有 24 人，绘画组的人数比航模组少。绘画组有多少人？41学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少。绘画组有多少人？41（2）比较量对比练习学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少。绘画组有多少人？41学校航模组的人数比绘画组少，正好少 24 人。绘画组有多少人？41（3）分率量对比练习学校航模组有 24 人，比绘画组人数的 2 倍少 6 人。绘画组有多少人？学校航模组有 24 人，比绘画组人数的少 6 人。绘画组有多少人？417