高中数学必修五《等比数列前n项和》教案

1等比数列的前等比数列的前 n n 项和教案项和教案一、教学目的一、教学目的1、理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题2、通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质3、通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美二、教学重点、难点、关键二、教学重点、难点、关键教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用教学难点：等比数列的前 n 项和公式的推导。教学关键：推导等比数列的前 n 项和公式的关键是通过情境的创设，发现错位相减求和法。应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等比数列模型，运用公式解决问题。三、教具、学具准备三、教具、学具准备多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。四、教学方法四、教学方法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然” ，还要“知其所以然” ，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。本节课将采用“多媒体优化组合激励发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。五、学法指导五、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔” 。教是为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身。2根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了创设情景观察归纳讨论研究即时训练总结反思任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；同时从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数学模型，获得解决问题的方法，帮助学生培养勇于探索、不断创新的思维品质。六、教学过程六、教学过程1 1、复习回顾，引旧导新、复习回顾，引旧导新（1）等比数列na的定义及通项公式1(2)nnaq na，1 1n nqaa。（2）等比中项：如果 a,b,c 成等比，则bac 。（3）等比数列na的一些结论：mn mnqaanmqpaaaanmqp时，则2 2、创设情境，提出问题、创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？师：同学们，你能解释这是为什么吗？本节课我们研究等比数列前 n 项和 ，通过学习，我们就可以很容易解释这个问题了。 （板书课题）2.52.5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和一般地，等比数列的前 n 项和用ns 表示，即：12nnsaaa。设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极3性故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我再问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数23631+2+2 +2 +2。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这时我对他们的这种思路给予肯定设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。3 3、师生互动，探究问题、师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：23631+2+2 +2 +2是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨 1：设23631+2+2 +2 +2，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）探讨 2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则有s236364 642=2+2 +2 +2 +2，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：64 6421s。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观教师推导全过程。师：为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？生：乘以 2 后使得（1）式与（2）式出现相同的项，从而可以实现两式相减，消去相同的项。设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。4 4、类比联想，解决问题、类比联想，解决问题4这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列na，首项为1a ，公比为q，如何求前 n 项和ns 呢？在此让学生自主完成，并叫一名学生上黑板，然后对每个学生在自觉研究时遇到的难题进行指导点拔。设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。在学生推导完成后，我再问：由n n11(1-q)s = a -a q得n 11 na -a qs =1-q，对不对呢？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为 1？q=1 时是什么数列？此时?ns （这里引导学生对 q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础）即： 111)1 (11qnaqqqaSnn再次追问：结合等比数列的通项公式1 1n naa q，如何把ns 用1a 、na、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）即：11111nnaa qqqSnaq 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。5 5、讨论交流，延伸拓展、讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？方法二：我们知道, 2n-1n-2 n11111111s = a +a q+a q +a q= a +q(a +a q+a q) 。那么我们能否利用这个关系而求出ns 呢？即：提取公比 q，有：221 11111nn nSaa qa qa qa q2 1111naq aa qa q（）（111nnqaSqa5nnqaaSq11)1 (11(1)111nnaqqqSnaq 方法三：根据等比数列的定义又有2134n23n-1aaaa= qaaaa，能否联想到等比定理从而求出ns 呢？即：利用等比定理 12 aa 23 aa 34 aaqaann 1nnnnn aSaSq aaaaaa 112132qaaSqnn1)1 (11111nnaa qqqSnaq 设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到11nnqsas, 这其实就是关于ns的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用。6 6、例题讲解，形成技能、例题讲解，形成技能例 1、口答下列各题：(1)求等比数列1 1 11,2 4 8的前 10 项的和；(2)已知等比数列na中，12a ，3q ，求3s ；(3)请利用第(2)题的数据，自己编题，改求1a 或求 q，并求解(自己拟题能巩固和深化所学的知识)生：(口答)（1）1010111 ( ) 10232 151212s （2）332(1 3 )261 3s6(3)生甲：已知：q=3，326s 求1a 解：3 1 3(1 3 )261 3as，12a。生乙：已知：12a ，326s 。求 q。解：332(1)261qsq，2120qq3q 或q=-4。例 2、已知na为等比数列，且nsa，2nsb，(ab0)，求3ns 。师：要求3ns ，需知1a ，q，而已知条件为ns 和2ns 能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？生甲：1(1)(1)1nnaqsaq2 11 2(1)(1)(1)(2)11nnnnaqaqqsbqq（1）式除以（2）式得：1nbqa，即1 (3)nbqa将（3）式代入（1）式得：11 (1)1baaaq ，则2 1 12aa qab，32 31 3(1)1 (1) 12nnaqabsqaba以下再化简即可师：这位同学处理问题很巧妙他没有分别求得1a 与q的值，而改为求nq与1 1a q的值，这样使问题变得简单些，请问同学们，这样解这个题目是否有问题呢？生乙：我认为第（1）式就有问题，他附加了条件1q ，而对1q 情况没有考虑师：对！使用等比数列前 n 项和公式时，要特别注意适用条件，即1q 时，1nsna；1q 时，11(1) 11n n naa qaqsqq。7(含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略 q=1 情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性)(学生演算习题，教师投影出正确答案)解：设数列的公比为q。若1q (此时数列为常数列)，则1nsnaa，212nsnab，此时，2ab，则313333 ()2nnsnaasb或。若1q ，即2ab，则由已知1(1)(1)1nnaqsaq2 1 2(1)(2)1nnaqsbq又因为0ab ，所以由（2）式除以（1）式得：21 1nnqb qa，即1nbqa，所以1 (3)nbqa将（1）式式变形后代入（3）式得：2 1 112naaa qqab，于是数列的前 3n