线性代数课件向量空间的基和维

1、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解§5.3 向量空间的基和维定义 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足(1) a1 a2 ar 线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar 线性表示 那么 向量组a1 a2 ar 就称为向量空间V的一个基 r 称为向 量空间V的维数 并称V为 r 维向量空间 注（1）只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是 向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩 （3） 向量空间的基不唯一.5.3.1 基和维定义 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那 么V中任一向量 x 可唯一地表示为x1a12a2 rar 数组 1 2 r 称为向量x在基a1 a2 ar中的坐标 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为 基 则向量x(x1 x2 xn)T可表示为xx1e1x2e2 xnen 可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是该向量的分量 注 线性空间V 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同, 但一个向量在一组基下的坐标是唯一的注 求一向量在一组基下的坐标表示归结为讨论线性代数 方程组有无解的问题.解 例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 解 所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 例 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的 坐标之间的关系式(坐标变换公式) 即基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵 解 由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a1 a2 a3)A1B 解解 基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和z1 z2 z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 例 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的 坐标之间的关系式(坐标变换公式) 定理 设设b1、bs 及 f1、ft 是向量空间间的任两 组基，则必有 s=t.定义义 向量空间间V 的任一基向量的个数, 称为为空间V 的维（ dimension）, 记这个数为 dimV证 利用等价向量组组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的， 从而其秩相等：由基的定由基的定义义义义知两知两组组组组向量向量组组组组都都线线线线性无关，即性无关，即 从而 由于Rn有一组组明显显的自然基， 故有 dim Rn = n , 即Rn是n维维向量空间间.若S是Rn的任一子空间间，则则 注 尽管子空间尽管子空间S S的的维可以低于n，但它的任一向量却是n维向量, 亦即空间维数与向量维数是不同的概念. 例 考虑练习2中给出的向量空间其中 试求 dimV1. .解由于其中故知V1中任一向量x皆可依 a1, a2 线线性表出. 又因矩阵阵 之秩为2， 故a1,a2线线性无关，故 a1,a2是V1的基，从而 dimV1=2. 但是 a1,a2 以及V1中的任一向量x皆为为4维维向量.5.3.2 再论线性代数方程组的解5.3.2.1 齐次方程组m n齐次线性代数方程组的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A). 齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定， 但通解式中独立任意常数的个数是确定的，每一任意常数对应一个基向量，而基向量个数一定是n- r(A)个. 例 试解齐次线性代数方程组 解 对系数矩阵施行初等行变换故 r(A)=2, 又n=4, 方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数.取等价方程组则方程组的通解为 基础解系的构成及特点(1)每一个向量都是齐次方程组的解; (2)基础解系中共有 n-r(A) 个向量；(3)这组向量线性无关.根据通解的表达，该齐次方程组的解集可记为因为 线性无关，即为 N(A) 的一组基，于是而通解中的两个任意常数即为解向量对这一组基的坐标.基础解系的构成及特点(1)每一个向量都是齐次方程组的解; (2)基础解系中共有 n-r(A) 个向量；(3)这组向量线性无关.则方程组的通解为 现在的基础解系是 不同基础解系代表解空间的不同 的基，但每一组基础解系包含的 解向量的个数是确定的，5.3.2.2 非齐次方程组用向量空间理论解释相容性定理.本章定理1说明了方程组 Ax=b 即相容性的重要条件是 bR(A) . 故方程组无解. 事实上，若则必必是b不能依a1，a2， ，an线性表出，即 说明向量组a1， a2 ， ，an线性无关，故必为R(A)的一组基，若说明生成 R(A)的n个向量a1， a2 ， ，an线性相关，而最大因向量b对一组基的坐标是惟一确定的，所以此时方程组有 惟一解. 当时，则b必可依A的列向量组线表出，即进一步，若线性无关组含 r 个向量. 假定最大线性无关组是an-r+1， ，an ，为 R(A)的一组基. t1，t2，tn-r ，向量 b + t1a1 + + tn-ran-r 对这组基必有惟一确定的坐标，设为 1*、 2* 、 n-r* ，就有亦必在R(A)中，所以对 n r 个任意常数值因b, a1, an-r均在 R(A)中，故它们的线性组合b+t1a1+ + tn-ran-r= 1*an-r+1+ + n-r*an 从此式可看出，-t1 -tn-r 1* n-r*T是Ax=b的解，由于t1、 t2、 tn-r可取任意值，故 Ax=b 的通解中含有 n-r 个任意常数. 其次，用向量空间的概念同样直观地解释Ax=b 通解的结构式先给出m n相容非齐次方程组解的性质及其与对应齐次方程组的解的关系.定理 设m n相容非齐次方程组Ax=b的解集为S, 对应齐次方程组的解空间为N(A)， 若已知 则 (k0, k为为常数）(3) 对任意的 xhN(A),必 x1+ xh S.(1)即(2)非齐次方程组的解 集不是向量空间结论(2)、(3)则说明了当已知其某个解 xp时，方程组的通解 xp(即S中元素的通解)本质上必能也只能通过 N(A)的通解 xh表出，为随着取xp的不同及在N(A)中取不同的基， xg的具体形式还是可以多样的，但其组成(结构)是惟一确定.下面从另外一个角度说明，当生成向量线性相关时，生 成向量空间中任一向量按生成向量的线性表出必有无限多种 不同的形式.例 对练习2中的 V2=span(b1, b2, b3), 可以但b1、b2、 b3是线性相关的，即有不全为零的数 1、 2 、 3使成立验证V=6 -1 7 7T v2. 于是，对任意数 k 都成立因为有由此看出向量v 可依一组线性相关向量表出时，必有无限多种不同的表示形式.例 已知四元非齐次线性代数方程组的系数矩阵之秩为 3，又已知该方程组有三个解向量 a1, a2, a3，其中求该方程组的通解.作 业P149. 18 P157. 5-7