线性代数课件向量空间的基和维
23页1、1、基和维的概念2、再论线性代数方程组的解5.3 向量空间的基和维定义 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足(1) a1 a2 ar 线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar 线性表示 那么 向量组a1 a2 ar 就称为向量空间V的一个基 r 称为向 量空间V的维数 并称V为 r 维向量空间 注(1)只有零向量的向量空间没有基 规定其维数为0 (2)若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是 向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩 (3) 向量空间的基不唯一.5.3.1 基和维定义 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那 么V中任一向量 x 可唯一地表示为x1a12a2 rar 数组 1 2 r 称为向量x在基a1 a2 ar中的坐标 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为 基 则向量x(x1 x2 xn)T可表示为xx1e1x2e2 xnen 可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是该向量的分量 注 线性空间V 的任意向量在不同的基下的坐标一般不同, 但一个向量在一组基下的坐标是唯一的注 求一向量在一组基下的坐标表示
2、归结为讨论线性代数 方程组有无解的问题.解 例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 解 所以b1 b2在基a1 a2 a3中的坐标依次为 例 设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一 个基 并求b1 b2在这个基中的坐标 例 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的 坐标之间的关系式(坐标变换公式) 即基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 矩阵PA1B称为从旧基到新基的过渡矩阵 解 由(a1 a2 a3)(e1 e2 e3)A 得 (e1 e2 e3)(a1 a2 a3)A1故 (b1 b2 b3)(e1 e2 e3)B (a1 a2 a3)A1B
3、 解解 基变换公式为(b1 b2 b3)(a1 a2 a3)A1B 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为y1 y2 y3和z1 z2 z3这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 例 在R3中取定一个基a1 a2 a3 再取一个新基b1 b2 b3 设A(a1 a2 a3) B(b1 b2 b3) 求用a1 a2 a3表示b1 b2 b3的表示式(基变换公式) 并求向量在两个基中的 坐标之间的关系式(坐标变换公式) 定理 设设b1、bs 及 f1、ft 是向量空间间的任两 组基,则必有 s=t.定义义 向量空间间V 的任一基向量的个数, 称为为空间V 的维( dimension), 记这个数为 dimV证 利用等价向量组组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的, 从而其秩相等:由基的定由基的定义义义义知两知两组组组组向量向量组组组组都都线线线线性无关,即性无关,即 从而 由于Rn有一组组明显显的自然基, 故有 dim Rn = n , 即Rn是n维维向量空间间.若S是Rn的任一子空间间,则则 注 尽管子空间尽管子空间S S的的维可以低于n,但它的任一向量却是n维向量, 亦即空间维数与向量
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