【数学】空间直线、平面的垂直专练-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2023-2024学年度高一年级下学期8.6空间直线、平面的垂直专练一、单选题（每题5分，共30分）1、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（    ）A，B，C，D，2如图，在四棱锥中，平面，那与垂直的充分条件是（）A四边形为矩形B四边形为菱形C四边形为平行四边形D四边形为梯形3在四棱锥中，平面，与平面所成角为，底面为直角梯形，则点到平面的距离为（    ）  AB2CD4长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（    ）ABCD5如图，在直三棱柱中，点为的中点，则下列说法错误的是（    ）A直线与直线为异面直线B线段上存在点，使得平面C点到平面的距离为D线段上存在点，使得平面6在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为（    ）A6B8C12D16二、多选题（每题5分，共10分）7如图，在正方体中，分别为，的中点，则以下结论正确的是（    ）AB平面平面C平面D异面直线与所成角的余弦值是8如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，则下列说法正确的有（   ）  A.平面平面B异面直线与所成的角为C.二面角的大小为D三棱锥的体积为1三、填空题（每题5分，共20分）9在三棱锥中，已知平面OAB，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则 （用角度表示）10如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为 m， m.又测得AB的长为5 m，CD的长为 m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .11如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，（2分）若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 （3分）  12如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段（包括端点）上一点，则的面积的取值范围为   13如图，在四棱锥中.侧面底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.  (1)若为的中点，证明：；(2)求点到平面的距离.14如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.  (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.15如图，四面体中，为的中点  (1)证明：平面平面；(2)设，点在上；点为中点，求与所成角的余弦值；当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值16如图，在四棱锥中，E为棱的中点，平面.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.试卷第5页，共5页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A，可以平行，也可以相交，对于B，a，c可以平行，可以相交，也可以异面，对于D，可以平行，也可以相交，对于C，不妨设，在平面内作，因为，则，同理在平面内作，则，所以，又，则，而，所以，所以，即C正确.故选：C2B【分析】利用，结合，利用线面垂直的判定反推出，进而可得答案.【详解】若满足，又因为平面，平面    ，所以，又，平面，故平面，又因为平面，所以，故当时，即可推出.所以四边形为菱形故选：B.3C【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解.【详解】在平面中过作，垂足为，  因为平面，所以为与平面所成角，则，又平面，所以，又，所以，所以，因为，则，因为平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，所以为点到平面的距离，即所求为.故选：C.4B【分析】由异面直线所成的角求得长方体中棱的关系，再根据线面角定义计算【详解】长方体中，所以就是直线与直线所成角，因此，即，又由平面知是直线与平面所成角，故选：B5B【分析】利用异面直线的定义、线面垂直判定定理及性质定理、线面平行判定定理及等体积法求点到平面的距离来一一判定选项即可.【详解】选项A：显然直线与直线为异面直线，故A正确选项B：若平面，则由平面，可得在直三棱柱中，又，平面，故平面，故点与点重合，即在矩形中，不与垂直，故B错误选项C：易知，两两垂直，且，设到平面的距离为，则由，可得，解得，故C正确选项D：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，若平面，则为的中点，为的中点记的中点为，连接，设与交于点，由，易知 ，得到，故，又，则，故线段上存在点，使得平面，故D正确故选：B6C【分析】先根据空间中线面的位置关系确定截面形状；再根据几何关系即可求解.【详解】如图所示，  在棱上取一点，使得.因为在棱上，且，所以，.由正方体性质可知：平面平面，.又因为平面平面，平面，所以平面，则平面.又因为平面所以.取为的中点，在棱上取一点，使得.则，,所以.因为为的中点，则由正方体的性质可得：平面.又因为平面，所以.又因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.同理可得：在棱上取一点，使得时有.所以截面为四边形.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.又因为，所以，.所以等腰梯形为所得截面，梯形的高为.所以等腰梯形的面积为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线面的位置关系及正方体的截面.解题关键在于熟练运用线、面平行与垂直的判定定理和性质定理来确定截面的形状.7BC【分析】由题意可得出，可判断A；因为四点共面，所以平面平面可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.【详解】对于A，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，而平面，所以，所以在中，与不垂直，所以，不垂直，故A不正确；  对于B，连接，因为分别为的中点，所以，所以四点共面，所以平面平面，故B正确；  对于C，连接，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，平面，所以平面，故C正确；  对于D，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角，即，设正方体的边长为，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是，故D错误.故选：BC.8ACD【分析】取的中点，确定二面角的平面角为，由勾股定理的逆定理可得，即可判断A；根据线面垂直的性质可得，结合勾股定理的逆定理即可判断B；确定二面角的平面角即可判断C；由平面和棱锥的体积公式计算即可判断D.【详解】A：取的中点，连接和都是等边三角形，则，则是二面角的平面角，又，所以，即，所以二面角是直二面角，即平面平面，故A正确；B：因为，所以是异面直线与所成的角或其补角因为平面，而平面，所以，所以，所以，所以，即，故B错误；C：由知，又，所以是二面角的平面角在中，则，故C正确；D：由A知，平面平面，平面平面，,故平面，所以，故D正确故选：ACD9【详解】因为平面OAB，所以在平面上的投影为，所以与平面所成的角的平面角为。所以，是直角三角形，又，所以，因为平面OAB，所以在平面上的投影为，所以与平面所成的角的平面角为。所以，是直角三角形，又，所以，又，所以在中，所以故答案为：.  10/【分析】作且，连接，可得是所求二面角的平面角，进而求得，再利用余弦定理可求得，可求得.【详解】如图，作且，连接.又，则四边形是矩形，.又，所以是所求二面角的平面角.因为，则.又，平面，所以平面，而平面，所以，所以，由题可知，则.又是三角形的内角，所以.故答案为：.11 【分析】如图1，过M,N,P三点的平面为正六边形，即可求解其面积；先确定是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线，则点Q的轨迹为圆锥底面圆，求出底面圆的半径即可.【详解】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，  可知平面与正方体相交的截面即为正六边形，其边长为，因此面积为由上可知，平面，且垂足H为的中点，如图2，动直线是以为轴、直线与直线的夹角为的圆锥的母线，点Q的轨迹为圆锥底面圆          图2因为，所以底面圆的半径，所以点Q的轨迹长度为故答案为：；12【分析】由已知条件知在中，边上的高线随点移动发生变化，而的长度保持不变，故只需求出边上的高线的取值范围，即把问题转化为求线段上一点与异面线段上一点间距离的取值范围，过点作，垂足为，则线段的长度即所求距离，由几何关系可判断出线段的长度的取值范围是，进而得到的面积的取值范围【详解】如图，连接，过作，垂足为. 再过作于点，连接.  由及得，又，平面，平面，所以平面，又平面，故.又，所以，而，故四边形是平行四边形，所以.由于，故，从而的取值范围是.而平面，平面，故. 而，故.因为，故，从而的取值范围是.将，代入，知的取值范围是.最后，由知，故的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：立体几何中的面积最值问题往往和截面有关，这类问题的求解思路如下：将已知的线段、角及其关系转化到截面上；利用勾股定理，正、余弦定理，求得在截面上的相关线段的长、角的大小；根据平面几何图形的面积公式求得几何图形面积的表达式；利用函数的性质、基本不等式等求得最值13(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，证明出线面垂直，得到；（2）证明出平面，求出，根据等体积法求解点到平面的距离.【详解】（1）取中点，连接，为等边三角形，四边形为正方形，又平面，平面，  （2）连接，因为平面底面，平面底面，所以平面，因为四边形为正方形，所以，且，故，因为，所以，由勾股定理得，设到平面的距离为，即，解得.14(1)证明见解析(2)存在，且【分析】（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接，利用面面垂直的性质推导出平面，可得出，可得出，推导出，可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出结论.【详解】（1）证明：如图1，在中，、分别是和边的中点，所以，因为平面，平面，所以，平面.（2）解：在线段上取点，使，过点在平面内作于点，连接.  由题意得，平面平面.因为，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，.在中，因为，所以，所以，翻折前，为等边三角形，则，因为为的中点，所以，即，