【精品】高考考前必备一课：向量解决空间角问题
线线角探究线面角二面角 小结引入课题:利用空间向量 解决空间角问题一、复习引入名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线，经过空间任 意一点o，作直线a、b，并使a/a ，b/b，我们把直线a和b所成的锐 角（或直角）叫做异面直线a和b所 成的角。ab o.aO是空间中的任意一点b一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a、b，并使 a/a，b/b，我们把直线a和b所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，oLBA一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a、b，并使 a/a，b/b，我们把直线a和b所 成的锐角（或直角）叫做异面直 线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。LoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若L则 L与所成的角是直角，若L/或 L ，则L与所成的角是的角。ALB O一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线，经过空 间任意一点o，作直线a、b， 并使a/a，b/b，我们把直线a 和b所成的锐角（或直角）叫 做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。以 二面角的棱上任意一点为端点 ，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。LoBAALB O平面的一条斜线和它在这个平面 内的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角，B B二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是转化 与化归，即把空间角转化为平面角。 2.方法：步骤：作（找） 证 求1.数学思想： 几何法 向量法夹角公式： 异面直线所成角的范围： 思考：结论：探究1：线线角例1：解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为斜线与平面所成角的范围： 思考 ：结论：探究2：线面角例2：的棱长为1.正方体xyz解：以点A为坐标原点建立空间直角 坐标系Axyzll二面角的范围：注意:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角探究3：二面角设平面小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： DCBA3.二面角：l l一进一出，二面角等于法向量的夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90°，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。(1)求异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)求OS与面SAB所成角的余弦值 (3)求二面角BASO的余弦值拓展训练OABCSOABCS所以OS与面SAB所成角的余弦值为OABCSOABCSOABCSOABCSxyzOABCSOABCSxyz所以二面角BASO的余弦值为【例3】 (2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直， ，AF1，M是线段EF的中点 (I)证明：AM平面BDE；()证明：AM平面BDF；()求二面角A-DF-B的大小()证证明 如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF1，AC=2O，M分别为AC与EF的中点， 四边形AOEM是平行四边形 AMOE又OE 平面BDE， 平面BDE， AM平面BDE ()证证明 如图1-7，BDAC，BDAF,ACAFA，BD平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OFAOAF1，AOMF是正方形，OFAM，由三垂线定理得DFAM同理FBAM，DFFBF， AM平面BDF()解 设AMOFH，由()知AH平面BDF如图1-8，作AGDF交DF于，连结GH，由三垂线定理知GHDF，AGH是二面角A-DF-B的平面角又 即 二面角A-DF-B的大小为 点评 利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60º，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60º，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60º，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=60º，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点()证明：平面PED平面PAB；()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值()证证明 底面ABCD为菱形，ABAD，DAB=60º DAB为正三角形又E为AB中点， ABDE又PD平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE，ABPE（三垂线定理）PEDEE， 平面PAB平面PED()解 AB平面PED，PE 面PED， ABPE 如图1-10，连结EFEF 面PED， ABEF PEF为二面角P-AB-F的平面角设PDADa，则PFFD 又DAB为正三角形，E为AB中点，ABADa， 二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 点评评 这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角作业：1.在长方体 中，2.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1 A1
