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【精品】高考考前必备一课:向量解决空间角问题

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    • 1、线线角探究线面角二面角 小结引入课题:利用空间向量 解决空间角问题一、复习引入名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线,经过空间任 意一点o,作直线a、b,并使a/a ,b/b,我们把直线a和b所成的锐 角(或直角)叫做异面直线a和b所 成的角。ab o.aO是空间中的任意一点b一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a、b,并使 a/a,b/b,我们把直线a和b所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,oLBA一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a、b,并使 a/a,b/b,我们把直线a和b所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,

      2、在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。LoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L则 L与所成的角是直角,若L/或 L ,则L与所成的角是的角。ALB O一、概念名称定义义图图形两条异面直线线 所成的角直线线与平面 所成的角二面角及它 的 平面角直线a、b是异面直线,经过空 间任意一点o,作直线a、b, 并使a/a,b/b,我们把直线a 和b所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。以 二面角的棱上任意一点为端点 ,在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。LoBAALB O平面的一条斜线和它在这个平面 内的射影所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的角,B B二、数学思想、方法、步骤:解决空间角的问题涉及的数学思想主要是转化 与化归,即把空间角转化为平面角。 2.方法:步骤:作(找) 证 求1.数学思想: 几何法 向量法夹角公式: 异面直线所成角的范围: 思考:结论:探究1:线线角例1:

      3、解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示,设 则: 所以:所以 与 所成角的余弦值为斜线与平面所成角的范围: 思考 :结论:探究2:线面角例2:的棱长为1.正方体xyz解:以点A为坐标原点建立空间直角 坐标系Axyzll二面角的范围:注意:法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角探究3:二面角设平面小结:1.异面直线所成角: 2.直线与平面所成角: DCBA3.二面角:l l一进一出,二面角等于法向量的夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角。OABCSxyz1、如图,已知:直角梯形OABC中, OABC,AOC=90,SO面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2。(1)求异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)求OS与面SAB所成角的余弦值 (3)求二面角BASO的余弦值拓展训练OABCSOABCS所以OS与面SAB所成角的余弦值为OABCSOABCSOABCSOABCSxyzOABCSOABCSxyz所以二面角BASO的余弦值为【例3】 (2004年浙江省高考题)如图1-5,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直

      4、, ,AF1,M是线段EF的中点 (I)证明:AM平面BDE;()证明:AM平面BDF;()求二面角A-DF-B的大小()证证明 如图1-6,设AC,BD交于点O,连EO,矩形AFEC的边长AF1,AC=2O,M分别为AC与EF的中点, 四边形AOEM是平行四边形 AMOE又OE 平面BDE, 平面BDE, AM平面BDE ()证证明 如图1-7,BDAC,BDAF,ACAFA,BD平面ACEF,DF在平面ACEF上的射影为OFAOAF1,AOMF是正方形,OFAM,由三垂线定理得DFAM同理FBAM,DFFBF, AM平面BDF()解 设AMOFH,由()知AH平面BDF如图1-8,作AGDF交DF于,连结GH,由三垂线定理知GHDF,AGH是二面角A-DF-B的平面角又 即 二面角A-DF-B的大小为 点评 利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线,对有棱二面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PDAD,点E为AB中点,点F为PD中点()证明

      5、:平面PED平面PAB;()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PDAD,点E为AB中点,点F为PD中点()证明:平面PED平面PAB;()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PDAD,点E为AB中点,点F为PD中点()证明:平面PED平面PAB;()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PDAD,点E为AB中点,点F为PD中点()证明:平面PED平面PAB;()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值()证证明 底面ABCD为菱形,ABAD,DAB=60 DAB为正三角形又E为AB中点, ABDE又PD平面ABCD,PE在平面ABCD上的射影为DE,ABPE(三垂线定理)PEDEE, 平面PAB平面PED()解 AB平面PED,PE 面PED, ABPE 如图1-10,连结EFEF 面PED, ABEF PEF为二面角P-AB-F的平面角设PDADa,则PFFD 又DAB为正三角形,E为AB中点,ABADa, 二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 点评评 这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面,故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角作业:1.在长方体 中,2.正三棱柱 中,D是AC的中点,当 时,求二面角 的余弦值。CADBC1B1 A1

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