【数学】余弦定理、正弦定理应用举例课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
6.4 6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.3 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 3.3.余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例第六章平面向量及其应用一二三学习目标了解常用的测量相关术语能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度角度的实际问题根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件学习目标新课导入 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。光学经纬仪水准仪 具体测量时，我们常常遇到具体测量时，我们常常遇到“不能到达不能到达”的困难，这就需要设计恰当的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案.【仰角仰角】：目标视线在水平线上方与水平线的夹角：目标视线在水平线上方与水平线的夹角【俯角俯角】：目标视线在水平线下方与水平线的夹角：目标视线在水平线下方与水平线的夹角【定义定义】：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目：从某点的正北方向起，按顺时针方向旋转到目标方向线所成的最小正角。标方向线所成的最小正角。【定义定义】：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角铅垂线视线视线水平线仰角仰角俯角俯角北东东北东仰角和俯角方位角方向角OA：北偏西北偏西北偏西北偏西4040，OBOB：南偏西：南偏西：南偏西：南偏西6060基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线叫做基线.基线相关知识新知探究可到达点与不可到达点之间的距离a注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线基线。例如例如AB就是基线就是基线新知探究两个不可到达点之间距离ABCDa第三步：在第三步：在ADC和和BDC中，对照例中，对照例1应用正弦定理得出应用正弦定理得出AC,BC的长的长第一步：测量者可以在河岸边选定第一步：测量者可以在河岸边选定两点两点C，D，CD作为基线作为基线第二步：测得第二步：测得CD=a，并且在，并且在C，D两两点分别测得点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，思考：能用问题能用问题1 1的方法，来解决这个的方法，来解决这个问题吗？问题吗？例2 如图如图示示，A,B两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一种测量，设计一种测量A,B两点两点间距离的方法，并求出间距离的方法，并求出A,B的距离的距离.解解：如图如图,在在A,B两点的对岸选定两点两点的对岸选定两点C,D，测得，测得a于是，于是，在在ABC中，应用余弦定理可得中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离两点间的距离思考在上述测量方案下在上述测量方案下,还有其他计算还有其他计算A,B两点间距离的方法吗两点间距离的方法吗？先求先求AD，BD的长度，进而在三角形的长度，进而在三角形ABD中，求中，求A，B间的距离。间的距离。新知探究两个不可到达点之间距离例2 如图如图示示，A,B两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计一种测量，设计一种测量A,B两点间距离的方法，两点间距离的方法，并求出并求出A,B的距离的距离.例题小结距离测量问题包括(一个不可到达点)和(两个不可到达点)两种设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，计算时需要利用(正、余弦定理)。距离测量问题跟踪练习新知探究思考你能设计一个测量方案，测出地球和月球之间的大致距离吗你能设计一个测量方案，测出地球和月球之间的大致距离吗？AB 设基线AB=C 故故AC=asinsin(-)asinsin(+)=背景背景资料资料早在早在1671年年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出测量计算出,的大小和两地之间的距离的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离从而算出了地球与月球之间的距离约为约为385400km.典例解析思考例3 如如图，设计一种测量方法，测量塔的高度图，设计一种测量方法，测量塔的高度.解解：如图如图，在在ABC中，中，测测得得高度测量底部可达典例解析高度测量底部不可达例4如图，如图，AB是底部是底部B不可到达的一座建筑物，不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点设为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的方法，并求出建筑物AB的高度的高度AC=asinsin(-)AB=AE+h=ACsin+h=+ha sinsinsin(-)解：如图，选择一条水平基线解：如图，选择一条水平基线HG，使，使H，G，B三点在同一三点在同一条直线上条直线上.在在G，H两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A的仰角分别是的仰角分别是，CD=a ，测角仪器的高是，测角仪器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，由正弦定理，得由正弦定理，得【分析分析】如图，求如图，求AB长的关键是先求长的关键是先求AE，在，在 ACE中，如中，如能求出能求出C点到建筑物顶部点到建筑物顶部A的距离的距离CA，再测出由，再测出由C点观察点观察A的的仰角，就可以计算出仰角，就可以计算出AE的长的长.思考：解决本本题的关键是什么？例5位于某海域位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的的B处有一艘渔船遇险处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30，且与甲，且与甲船相距船相距7 n mile 的的C处的船处的船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到精确到1)？需要航行的距离是多少海里（精确？需要航行的距离是多少海里（精确到到1 n mile）？）？典例解析7 n mile3030 20 n mileAC北北北北B分析：分析：首先应根据“正东方向”、“南偏西30”、“目标方向线”等信息，画出示意图.解解:根据题意根据题意,画画出出示意图如图示示意图如图示,由由余弦余弦定理定理,得得由正弦定理由正弦定理,得得 因此因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46+30=76，大约，大约需要航行需要航行24 n mile.测量角度巩固练习课本课本P511.如图如图,一一艘船向正北艘船向正北航行航行,航行航行速度的大小为速度的大小为32.2 n mile/h，在，在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20的方向的方向上上.30 min后，船后，船航行到航行到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65的方向上，已知的方向上，已知距离此灯塔距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗可以继续沿正北方向航行吗?北北A20SB65解：在解：在ABS中中,AB=32.20.5=16.1(n mile),ABS=115.S到直线到直线AB的的距离为距离为这这艘船可以继续沿正北方向艘船可以继续沿正北方向航行航行.巩固练习课本课本P512.如图示，如图示，在山脚在山脚A测得山顶测得山顶P的仰角的仰角为为，沿，沿倾斜角为倾斜角为的斜坡向上走的斜坡向上走a m到达到达B处，在处，在B处测得山顶处测得山顶P的仰角的仰角为为.求证求证:巩固练习课本课本P51此船应该沿北偏东此船应该沿北偏东56的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行约为约为113.15海里海里.3.如图示，如图示，一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5 n mile后到达后到达海岛海岛B，然后，然后从从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方向航行的方向航行54 n mile后到达海岛后到达海岛C.如如果果下次航行直接从下次航行直接从A出发到达出发到达C，那么，那么这艘船应该沿怎样的方向航行，需这艘船应该沿怎样的方向航行，需要航行的距离是多少要航行的距离是多少?北北A75CB32课堂小结本节课你学会了哪些主要内容？正弦、余弦定理在实际测量中的应用类型:可到达点与不可到达点之间的距离两个不可到达点之间距离高度测量底部可达高度测量底部不可达测量角度
